1、2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 第二章 直线和圆的方程 学 习 任 务核 心 素 养 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念(重点)2.理解直线的方向向量和向量坐标表示(重点)3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率(难点)1.通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养.2.通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线 如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不
2、同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？知识点 1 倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义当直线 l 与 x 轴相交时，以 x 轴为基准，x 轴与直线 l方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角如图所示，直线 l 的倾斜角是 为锐角，直线 l的倾斜角是 为钝角正向BPx向上的APx(2)倾斜角的范围当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0，因此直线的倾斜角 的取值范围为.01801.任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的1.
3、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90.()(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在()(3)不存在倾斜角相同的直线()答案(1)(2)(3)平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论：(1)经过A(1，1)，B(3，1)的直线l1；(2)经过C(2,1)，D(2,2)的直线l2；(3)经过E(1,0)，F(1,2)的直线l3.知识点 2 直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角 的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k.tan 正切值(2)斜率与倾斜
4、角的对应关系图示 倾斜角(范围)0090_90180 斜率(范围)_不存在_k0(3)过两点的直线的斜率公式过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k_.y2y1x2x12.当直线的倾斜角由0逐渐增大到180时，其斜率如何变化？提示 当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90时，直线的斜率不存在 所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率当直线的倾斜角是 90时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于 x 轴(或平行于 y 轴或与 y 轴重合
5、)2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应()(2)若直线的倾斜角为，则必有斜率与之对应()(3)与y轴垂直的直线的斜率为0.()(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在()答案(1)(2)(3)(4)知识点 3 直线的斜率与方向向量的关系(1)若直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的一个方向向量的坐标为_(2)若直线 l 的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线 l 的斜率 k_.yx(1，k)3.若直线l的倾斜角为135，则直线l的一个方向向量的坐标为_(1，1)直线l的斜率ktan 1351，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，1)合作探究释疑难
6、NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 直线的倾斜角【例1】(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30 B60C30或150D60或120(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A45B135C135D45(1)D(2)AB(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.(2)根据题意，画出图形，如图所示 通过图象可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.求直线倾斜角的方法及注意点(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定
7、义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.跟进训练1(多选题)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转60后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为()A60 B120C60D120BC 直线l绕点A顺时针旋转60后得直线l1，当60时，直线l1的倾斜角为60，当060时，直线l1的倾斜角为180(60)120.2.已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图，则直线l2的倾斜
8、角为_135 设直线l2的倾斜角为2，l1和l2向上的方向所成的角为120，所以BAC120，所以21201135.类型2 直线的斜率和方向向量【例2】(1)(对接教材P54例题)过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是135，则y等于()A1B5C1D5(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为_，实数m的值为_(1)D(2)2 43 (1)过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是135，y342tan 1351，解得y5，故选D(2)由直线l的方向向量为(2,4)得，直线l的斜率为422，因此m23m2，解得m43.直
9、线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在 若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k y2y1x2x1(其中x1x2)进行计算(2)已知直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则kyx.跟进训练3已知直线l过点M(m1，m1)，N(2m,1)(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90？(2)当m为何值时，直线l的斜率是1?解(1)l的倾斜角为90，即l平行于y轴，所以m12m，得m1.(2)由题意知m12m，即m1，直线l的斜率k m11m12m 1，解得m32.4经过M(0,3)，N(1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值解 直线MN的
10、斜率kMN30013，直线MN的方向向量为(1，k)，k3.类型3 直线的倾斜角和斜率的综合【例3】已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解 如图所示，由题意可知kPA4031 1，kPB20311.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则k1或k1，即直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.1过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端
11、点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：连接PA，PB；由k y2y1x2x1，求出kPA，kPB；结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围 2直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大跟进训练5已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB 23
12、4317.直线AC的斜率kAC2303 53.故直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1(多选题)下列说法正确的是()A若是直线l的倾斜角，则0180B若k是直线的斜率，则kRC任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角ABC 由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误故选ABC2 1 3 4 5 2下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4,2)与(4,1)B(0,3)与(3,0
13、)C(3，1)与(2，1)D(2,2)与(2,5)D D项，因为x1x22，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90，斜率不存在3 1 2 4 5 3过点A(3，2)与点B(2，3)的直线的倾斜角为()A45B135C45或135D60A kAB3 2 2 3 3 23 21，故直线的倾斜角为45.4 1 2 3 5 4已知点P(1，1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为_12，2 因为A(1,0)，B(0,1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为12，2.2 4 5 1 3 5经过A(m,3)，B(1,2)两点
14、的直线的倾斜角的取值范围是_(其中m1)01时，tan 32m10，090.故090.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？提示 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0，因此，直线的倾斜角的取值范围是0180.(2)直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1x2)的斜率公式是什么？提示 把一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90的直线没有斜率 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的斜率公式是ky2y1x2x1.(3)当直线的倾斜角由0逐渐增大到180时，其斜率如何变化？提示 当090时，斜率为非负值，且逐渐增大，当90时，斜率不存在，当90180时，斜率为负值，且逐渐增大(4)直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？提示 若直线的斜率为k，则n(1，k)是其方向向量 反之若直线的方向向量n(x，y)，则斜率kyx(x0)点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
