1、2014-2015学年山东省威海市乳山一中高三（上）第二次自主练习数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1设U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，3，4，则下列结论中正确的是（）AAB BAB=2CAB=1，2，3，4，5DAUB=12若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是（）AbacBbcaCabcDcba3下列命题中，假命题是（）AxR，2x10BxR，sinx=CxR，x2x+10DxN，lgx=24f（x）=+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A（0
2、，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）Alog2xBCD2x26函数y=e|lnx|x1|的图象大致是（）ABCD7已知函数y=f（x）（xR）满足f（x+2）=f（x），且x（1，1时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x的交点的个数为（）A4B5C6D78若函数f（x）=lg（x2+axa1）在区间2，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（3，+）B3，+）C（4，+）D4，+）9曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ae2B2e2Ce2De210设
3、函数f（x），g（x）在a，b上均可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）Af（x）g（x）Bf（x）g（x）Cf（x）+g（a）g（x）+f（a）Df（x）+g（b）g（x）+f（b）二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11函数f（x）=（m2m1）是幂函数，且在区间（0，+）上为减函数，则实数m的值为12=13函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是14已知函数f（x）=若f（x）在（，+）上单调递增，则实数a的取值范围为15定义在（，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，下面是关于函数f（
4、x）的判断：f（x）的图象关于点P（，0）对称； f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数； f（2）=f（0）其中正确的判断有（把你认为正确的判断都填上）三、解答题：（本大题共6题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16已知函数f（x）=的定义域为集合A，B=x|xa（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若全集U=x|x4，a=1，求UA及A（UB）17已知aR，设命题p：函数f（x）=ax是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R若“pq”是真命题，“pq”是假命题，求实数a的取值范围18已知函数（1）讨论函数
5、f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x3，+）上为增函数，求a的取值范围19已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称（）求函数f（x）的解析式；（）若上的值不小于6，求实数a的取值范围20有两个投资项目A，B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B=x|xa（万元）的函数关系式；（2）现将x（0x10）万元投资A项目，10x万元投资B项目h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和求h（x）的最大值，并指出
6、x为何值时，h（x）取得最大值21设函数f（x）=lnxax（aR）（e=2.718 28是自然对数的底数）（）判断f（x）的单调性；（）当f（x）0在（0，+）上恒成立时，求a的取值范围；（）证明：当x（0，+）时，e附加题（本小题满分0分）22已知函数fn（x）=，其中nN*，aR，e是自然对数的底数（）求函数g（x）=f1（x）f2（x）的零点；（）若对任意nN*，fn（x）均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间1，4外，求a的取值范围2014-2015学年山东省威海市乳山一中高三（上）第二次自主练习数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5
7、分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1设U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，3，4，则下列结论中正确的是（）AABBAB=2CAB=1，2，3，4，5DAUB=1考点： 补集及其运算；交集及其运算专题： 计算题分析： 先求出集合的补集，看出两个集合的公共元素，做出两个集合的交集，得到结果解答： 解：UB=1，5，A=1，2，3，AUB=1故选D点评： 本题考查两个集合之间的运算，是一个基础题，本题解题的关键是先写出集合的补集，在求两个集合的交集2若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是（）AbacBbcaCabcDc
8、ba考点： 对数值大小的比较专题： 函数的性质及应用分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得到解答： 解：0a=0.531，b=30.51，c=log30.50，bac故选：A点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题3下列命题中，假命题是（）AxR，2x10BxR，sinx=CxR，x2x+10DxN，lgx=2考点： 特称命题；全称命题专题： 计算题分析： A 将指数x1视为整体，利用指数函数性质判断为正确B 利用正弦函数的有界性，判断为错误C0，可知x2x+1恒正，判断为正确D方程lgx=2的解是x=100，判断为正确解答： 解：A根据指数函数的性质，当xR时，x1R，
9、2x10正确B对任意xR，总有|sinx|1，sinx=无解，错误故选BC在x2x+1中，=（1）2411=30，x2x+10恒成立正确D由lgx=2，得x=102=100N正确故选B点评： 本题考查的是命题的真假判断用到了初等函数：指数函数、三角函数、二次函数、对数函数的性质等知识4f（x）=+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）考点： 函数零点的判定定理专题： 计算题分析： 根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果解答： 解：根据函数的实根存在定理得到f（1）f（2）0故选B点评：
10、本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题5若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）Alog2xBCD2x2考点： 反函数专题： 计算题分析： 求出y=ax（a0，且a1）的反函数即y=f（x），将已知点代入y=f（x），求出a，即确定出f（x）解答： 解：函数y=ax（a0，且a1）的反函数是f（x）=logax，又f（2）=1，即loga2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选A点评： 本题考查指数函数与对数函数互为反函数、考查利用待定系数法求函数的解析式6函数y=e|lnx|x1|的
11、图象大致是（）ABCD考点： 对数的运算性质；函数的图象与图象变化分析： 根据函数y=e|lnx|x1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案解答： 解：由y=e|lnx|x1|可知：函数过点（1，1），当0x1时，y=elnx1+x=+x1，y=+10y=elnx1+x为减函数；若当x1时，y=elnxx+1=1，故选D点评： 本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系7已知函数y=f（x）（xR）满足f（x+2）=f（x），且x（1，1时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x的交点的个数为（）A4B5C6D7考点： 函数的周期性；抽象函
12、数及其应用专题： 函数的性质及应用分析： 先根据函数的周期性画出函数f（x）的图象，再画出对数函数y=log7x 的图象，数形结合即可得交点个数解答： 解：f（x+2）=f（x），可得 f（x+2）=f（x），即函数f（x）为以2为周期的周期函数，又x1，1时，f（x）=|x|，函数f（x）的图象如图，函数y=log7x的图象如图，数形结合可得交点共有6个故选：C点评： 本题考查了数形结合的思想方法，函数周期性及对数函数图象的性质，解题时要准确推理，认真画图，属于中档题8若函数f（x）=lg（x2+axa1）在区间 2，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（3，+）B3，+）C（4，+）
13、D4，+）考点： 复合函数的单调性专题： 函数的性质及应用分析： 由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间2，+）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围解答： 解：令t=x2+axa1，函数f（x）=lg（x2+axa1）在区间2，+）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，需要内层函数t=x2+axa1在区间2，+）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a3实数a的取值范围是（3，+）故选：A点评： 本题考查了复合函数的单调性，关键是注意真数大于0，是中档题9曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ae2B2e2Ce2D
14、e2考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题分析： 欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后求出切线的方程，从而问题解决解答： 解析：依题意得y=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是ye2=e2（x2），当x=0时，y=e2即y=0时，x=1，切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=e21=故选D点评： 本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题10
15、设函数f（x），g（x）在a，b上均可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）Af（x）g（x）Bf（x）g（x）Cf（x）+g（a）g（x）+f（a）Df（x）+g（b）g（x）+f（b）考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 计算题分析： 比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）g（x），研究F（x）在给定的区间a，b上的单调性，F（x）在给定的区间a， b上是增函数从而F（x）F（a），整理后得到答案解答： 解：设F（x）=f（x）g（x），在a，b上f（x）g（x），F（x）=f（x）g（x）0，F（x）在给定的区间a，b上是减函数当xa时，F（x）F（a），即f（x）
16、g（x）f（a）g（a）即f（x）+g（a）g（x）+f（a）故选C点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=f（x）g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11函数f（x）=（m2m1）是幂函数，且在区间（0，+）上为减函数，则实数m的值为2考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题： 函数的性质及应用分析： 根据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f（x），判断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值解答： 解：f（x）=（m2m1）
17、xm22m3是幂函数m2m1=1解得m=2或m=1当m=2时，f（x）=x3在x（0，+）上是减函数，满足题意当m=1时，f（x）=x0在x（0，+）上不是减函数，不满足题意故答案为：2点评： 解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如y=x（为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系是基础题12=考点： 对数的运算性质专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg，进一步运算求得结果解答： 解：=lglg+lg=lglg2=lg2lg2=lg=lg=lg=lg10=，故答案为：点评： 本题主要考查对数的运算性质的应用，属于基础题13函数f（x）=x3+3
18、ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是a|a1或a2考点： 函数在某点取得极值的条件专题： 导数的综合应用分析： 由已知得f（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知=36a236（a+2）0，由此能求出a的取值范围解答： 解：f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，f（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知=36a236（a+2）0，解得a1或a2故答案为：a|a1或a2点评： 本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用14已知函数f（x）=若f（x）在（，+）上单调递增，则实数a
19、的取值范围为2a3考点： 函数单调性的性质专题： 常规题型分析： 让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可解答： 解：f（x）在（，+）上单调递增须2a3， 故答案为：2a3点评： 分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值15定义在（，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，下面是关于函数f（x）的判断：f（x）的图象关于点P（，0）对称； f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数； f（2）=f（0）其中正确的判断有、（把你认为正确的判断都填上）考点： 奇偶函数图象
20、的对称性专题： 规律型；函数的性质及应用分析： 由f（x）=f（x），f（x+1）=f（x）可得f（1+x）=f（x），则可求f（x）图象关于点对称；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可判断；由f（x）为偶函数且在1，0上单增可得f（x）在0，1上是减函数；由f（x+1）=f（x）可得f（2+x）=f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）解答： 解：由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x），由f（x+1）=f（x）可得f（1+x）=f（x），则f（x）图象关于点对称，即正确；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故正确；由f（
21、x）为偶函数且在1，0上单增可得f（x）在0，1上是减函数，即错；由f（x+1）=f（x）可得f（2+x）=f（x+1）=f（x），f（2）=f（0），即正确故答案为：点评： 本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题三、解答题：（本大题共6题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16已知函数f（x）=的定义域为集合A，B=x|xa（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若全集U=x|x4，a=1，求UA及A（UB）考点： 函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算专题： 计算题分析： （1）首先求出集合A，根据AB，利用子集
22、的概念，考虑集合端点值列式求得a的范围；（2）直接运用补集及交集的概念进行求解解答： 解：（1）要使函数f（x）=有意义，则，解得：2x3所以，A=x|2x3又因为B=x|xa，要使AB，则a3（2）因为U=x|x4，A=x|2x3，所以CUA=x|x2或3x4又因为a=1，所以B=x|x1所以CUB=1x4，所以，A（CUB）=A=x|2x31x4=x|1x3点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了交集和补集的混合运算，求解集合的运算时，利用数轴分析能起到事半功倍的效果，此题是基础题17已知aR，设命题p：函数f（x）=ax是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2
23、ax+1）的定义域为R若“pq”是真命题，“pq”是假命题，求实数a的取值范围考点： 复合命题的真假专题： 函数的性质及应用；简易逻辑分析： 本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断命题p为真命题时，指数函数f（x）=ax的底数0a1，命题q为真命题时，对数函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的真数2ax2+2ax+10在R上恒成立，求得0a2pq是真命题，pq是假命题，所以p，q一真一假，分类讨论即可解答： 解：当命题p为真命题时，因为函数f（x）=ax是R上的单调递减函数，所以0a1（2分）当命题q为真命题时，因为函数
24、g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R所以2ax2+2ax+10在R上恒成立当a=0时，10在R上恒成立（4分）当所以，当命题q为真命题时，0a2（8分）因为pq是真命题，pq是假命题，所以p，q一真一假当（9分）当（11分）综上所述a的取值范围是1a2或a=0（12分）点评： 解题关键是由pq是真命题，pq是假命题，得p，q一真一假18已知函数（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x3，+）上为增函数，求a的取值范围考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质专题： 计算题分析： （1）先判断函数的定义域关于原点对称，再利用奇偶函数的定义，注意对参数进行
25、讨论；（2）函数f（x）在x3，+）上为增函数，可转化为导函数大于等于0在x3，+）上恒成立，从而可解解答： 解：（1）函数的定义域关于原点对称，当a=0时，函数为偶函数；当a0时，函数非奇非偶（2）函数f（x）在x3，+）上为增函数 在x3，+）上恒成立点评： 本题以函数为载体，考查函数的性质，考查恒成立问题，关键是掌握定义，利用导数解决恒成立问题19已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称（）求函数f（x）的解析式；（）若上的值不小于6，求实数a的取值范围考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法专题： 综合题；导数的概念及应用分析： （）设f（x）图
26、象上任一点坐标为（x，y），利用点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（x，2y）在h（x）的图象上，结合函数解析式，即可求得结论；（）题意可转化为（x（0，2）恒成立，利用分离参数法，再求出函数的最值，从而可求实数a的取值范围解答： 解：（）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（x，2y）在h（x）的图象上（3分），（6分）（）由题意，x（0， 2，a+1x（6x），即ax2+6x1，（9分）令q（x）=x2+6x1=（x3）2+8（x（0，2），x（0，2时，q（x）max=7（11分）a7（12分）点评： 本题考查函数图象的对称性，考查函数解析式
27、求解，考查恒成立问题，分离参数、求最值是关键20有两个投资项目A，B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B=x|xa（万元）的函数关系式；（2）现将x（0x10）万元投资A项目，10x万元投资B项目h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值考点： 函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用分析： （1）由题意，设，代入求出参数值即可，
28、（2）化简，利用换元法可得y=从而求最值解答： 解：（1）设投资为x万元，A项目的利润为f（x）万元，B项目的利润为g（x）万元由题设由图知又，从而（2）令=当，答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为万元点评： 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及换元法与配方法求函数的最值，属于中档题21设函数f（x）=lnxax（aR）（e=2.718 28是自然对数的底数）（）判断f（x）的单调性；（）当f（x）0在（0，+）上恒成立时，求a的取值范围；（）证明：当x（0，+）时，e考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题专题： 证明题；导数的综合应用分析：
29、（）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a0，a0，求出单调区间；（）应用参数分离得a，求出在（0，+）上的最大值，只要a大于最大值即可；（）可通过分析法证明，令x+1=t，再两边取以e为底的对数，转化为（）的函数，求出最大值1，得证解答： 解：（）f（x）=lnxax，f（x）=a，又函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，此时f（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，x（0，）时，f（x）0，此时f（x）在（0，）上是增函数；x（，+）时，f（x）0，此时f（x）在（，+）上是减函数；综上，当a0时，f（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，f（x）在（0，）上是增函数
30、，f（x）在（，+）上是减函数；（） 当f（x）0在（0，+）上恒成立，即a在（0，+）上恒成立，设g（x）=，则g（x）=，当x（0，e）时，g（x）0，g（x）为增函数；当x（e，+）时，g（x）0，g（x）为减函数故当x=e时，g（x）取得极大值，也为最大值，且为，所以a的取值范围是（，+）；（）要证当x（0，+）时，e， 可设t=1+x，t（1，+）， 只要证，两边取以e为底的对数， 得，即lntt1， 由（）当a=1时的情况得f（x）=lnxx的最大值为1，此时x=1， 所以当t（1，+）时lntt1， 即得lntt1，所以原不等式成立点评： 本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单
31、调区间，求极值，最值等，考查分类讨论和数学中分离参数的思想方法，同时运用分析法证明不等式的方法，以及转换思想，是一道不错的综合题附加题（本小题满分0分）22已知函数fn（x）=，其中nN*，aR，e是自然对数的底数（）求函数g（x）=f1（x）f2（x）的零点；（）若对任意nN*，fn（x）均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间1，4外，求a的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值专题： 导数的综合应用分析： （）求函数g（x）=f1（x）f2（x）=，令g（x）=0，即x=0；或 x22xa=0；=4+4a，分情况讨论可解得零点（II）fn（x）=，设gn（x）=nx2+2（n
32、+1）x+an2，gn（x）的图象是开口向下的抛物线，gn（x）=0有两个不等实数根x1，x2，且x11，4，x21，4则gn（1）gn（4）0，即可推得，故1a2解答： 解：（I）g（x）=f1（x）f2（x）=，令g（x）=0，有ex1=0，即x=0；或x22xa=0；=4+4a，当a1时，0函数g（x）有1个零点 x1=0； 当a=1时，=0函数g（x）有2个零点x1=0，x2=1；当a=0时，0函数g（x）有两个零点x1=0，x2=2；当a1，a0时， 0函数g（x）有三个零点：x1=0，x2=1，x3=1+（II）fn（x）=，设gn（x）=nx2+2（n+1）x+an2，gn（x）的图象是开口向下的抛物线，由题意对任意nN*，gn（x）=0有两个不等实数根x1，x2，且x11，4，x21，4则对任意nN*，gn（1）gn（4）0，即n（a+1）na（8）0，有，（7分）又任意nN*，8关于n递增，故，所以1a2所以a的取值范围是（1，2）点评： 本题主要考察了利用导数研究函数的极值，考察了计算能力，属于难题