1、章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的实轴长是()A2 B2 C4 D4解析：因为3x2y29，所以 1，所以 a，所以 2a2.答案：A2抛物线yx2的准线方程是()Ax By2 Cy Dy2解析：将yx2化为标准形式为x28y，故准线方程为y2.答案：B3已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.y21解析：因为抛物线焦点为(1，0)，所以 c1，又椭圆的离心率e，所以 a2
2、，b2a2c23，所以 椭圆的方程为1.答案：A4已知曲线1和直线axby10(a，b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的大致图象可能为(如图所示)()解析：若a0且b0，则曲线表示椭圆，直线axby10在x，y轴上的截距分别为，均为小于零的数，故A，B选项都不满足；若a0且b0，则曲线表示双曲线，直线axby10在x，y轴上的截距分别为，所以在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0.答案：C5若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：因为0k5，所以两曲线都表示双曲线在1中，a216，b25k；在1中，a216k，b25.由c2a
3、2b2，知两双曲线的焦距相等答案：D6已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A4 B2 C1 D8解析：如图所示，易知F，过A作AA准线l，则|AF|AA|，所以 x0x0x0，所以 x01.答案：C7若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：依题意有(2b)22a2c，即4b24ac，所以 b2ac.又b2a2c2，所以 a2c2ac.两边同除以a2，得10.即有e2e10，解得e或e(舍去)答案：B8已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c，0)，若垂
4、直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A. B1 C2 D4解析：圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m0)，所以 m1，则圆心M的坐标为(1，0)由题意知直线l的方程为xc，又因为直线l与圆M相切，所以 c1，所以 a231，所以 a2.答案：C9抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A. B. C. D3解析：设与直线4x3y80平行的直线方程为4x3yc0，与抛物线联立方程组得消去y得3x24xc0，(4)243(c)0，解得c，则抛物线与直线4x3y80平行的切线是4x3y0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离
5、公式得d.答案：A10已知点M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于P点，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1) Bx21(x1)Cx21(x0) Dx21(x1)解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.所以 |PM|PN|(|PE|ME|)(|PF|NF|)|MB|NB|422.所以点P的轨迹是以M(3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B点)，且a1，所以 c3，b28，所以双曲线方程是x21(x1)答案：A11若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
6、一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8解析：由椭圆方程得F(1，0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.因为P为椭圆上一点，所以 1.所以 xx03x03(x02)22.因为2x02，所以 的最大值在x02时取得，且最大值等于6.答案：C12从双曲线1(a0，b0)的左焦点F1引圆x2y2a2的切线，切点为T.延长F1T交双曲线右支于P点，若M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的大小关系为()A|MO|MT|baB|MO|MT|baC|MO|MT|baD不确定解析：如图，设双曲线的右焦点为F2，连接PF2.因为O、M分别为F1F2、F1P
7、的中点，所以 OM是PF1F2的中位线，所以 |OM|PF2|，由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a，所以 |PF2|PF1|2a，所以 |MO|MT|(|PF1|2a)|MT|PF1|MT|a|MF1|MT|a|TF1|aaaba.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13双曲线1的两条渐近线的方程为_解析：双曲线1的渐近线方程为0，即yx.答案：yx14已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_解析：设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)，抛物线y24x，焦点为(1，0)，准线为x1，|AF|x1(1)2
8、，所以x11.则AF与x轴垂直，|BF|AF|2.答案：215如图，椭圆的中心在坐标原点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆 ”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e_解析：设椭圆方程为1(ab0)由题意得因为，所以 |AB|2|BF|2|AF|2，所以 (ac)2a2b2a2，所以 c2aca20.所以 e2e10，又0e1，所以 e.答案：16抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称，则m的范围是_解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线ym(x3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m0时，有直线y0，显然存在点关于它对称当m0时，所以y，所以M的坐标为(，)，因为M在抛物
9、线内，则有()2，得m且m0，综上所述，m(，)答案：(，)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程解：由共同的焦点F1(0，5)，F2(0，5)，可设椭圆方程为1，双曲线方程为1(b0)点P(3，4)在椭圆上，则1，得a240，双曲线过点P(3，4)的渐近线方程为yx，即43，得b216.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.18(本小题满分12分)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实
10、数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1.故点A(2，1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A与抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.19(本小题满分12分)已知双曲线方程为x21，问：是否存在过点M(1，1)的直线l，使得直线与双曲线交于P，Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由解：
11、显然x1不满足条件，设l：y1k(x1)联立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由0，得k，x1x2，由M(1，1)为PQ的中点，得1，解得k2，这与k 矛盾，所以不存在满足条件的直线l.20(本小题满分12分)已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解：(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2
12、120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1，解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3，2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.21(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于MB的长，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：
13、(1)由已知可得点A(6，0)，B(6，0)，F(4，0)设点P的坐标为(x，y)，因为PAPF，所以 kAPkPF1.故有方程组则2x29x180，解得x或x6(舍去)，所以 x，由于y0，故y.所以 点P的坐标是.(2)易知直线AP的方程是xy60.设点M的坐标为(m，0)，则M到直线AP的距离是.于是|m6|，又6m6，故m2.所以M的坐标为(2，0)椭圆上的点(x，y)到点M的距离d的平方为：d2(x2)2y2x24x420x215.由于6x6，所以当x时，d取得最小值，最小值为.22(本小题满分12分)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点
14、P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x22，x1x21.因为l1l2，所以l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3x424k2，x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)18484216.当且仅当k2，即k1时，取得最小值16.