1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1准线方程为y的抛物线的标准方程为()Ax2y Bx2yCy2x Dy2x解析：由准线方程为y，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，则p.故所求抛物线的标准方程为x2y.答案：B2已知抛物线y2 016x20，则它的焦点坐标是()A(504，0) B.C. D.解析：抛物线的标准方程为x2y，故其焦点为(0，)答案：C3抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A3 B6 C. D.解析：将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p.故到焦点的距离最小值为.答案：C4一动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆
2、恒与直线x20相切，则动圆过定点()A(4，0) B(2，0)C(0，2) D(0，4)解析：由题意易知直线x20为抛物线y28x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点答案：B5点P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l()A相交 B相切C相离 D位置由F确定解析：根据抛物线的定义，|PF|等于点P到准线l的距离，即圆心P到直线l的距离等于半径|PF|，所以半径为|PF|的圆P与准线l相切答案：B二、填空题6抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是_解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB的中
3、点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x2.答案：27抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是_解析：由题意，知抛物线开口向上，且15，所以p8，即抛物线的标准方程是x216y.答案：x216y8焦点为F的抛物线y22px(p0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|p，则|FN|_解析：由条件知|MF|MN|p，MFMN，在MNF中，FMN90，得|FN|p.答案：p三、解答题9根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)过点(3，4)；(2)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左项点解：(1)因为点(3，4)在第四象限，所以抛物线的标准方程为
4、y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3，322p1(4)，即2p，2p1.故所求抛物线的方程为y2x或x2y.(2)双曲线方程化为1，左顶点为(3，0)由题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则3，解得p6，故所求抛物线的标准方程为y212x.10已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.B级能
5、力提升1点M(5，3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2解析：当a0时，抛物线开口向上，准线方程为y，则点M到准线的距离为36，解得a，抛物线方程为yx2.当a0时，开口向下，准线方程为y，点M到准线的距离为6，解得a，抛物线方程为yx2.答案：D2对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x有焦点在x轴上，满足，不满
6、足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：3抛物线y22px(p0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y2x，斜边长为5，求此抛物线方程解：设抛物线y22px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y2x，另一直角边所在直线方程为yx.解方程组可得点A的坐标为；解方程组可得点B的坐标为(8p，4p)因为|OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5，所以(64p216p2)325.所以p2，所以所求的抛物线方程为y24x.