1、4.1.2极坐标系1了解极坐标系2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别基础初探1极坐标系(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴(2)设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，每一个有序实数对(，)确定一个点的位置称为点M的极径，称为点M的极角有序实数对(，)称为点M的极坐标约定0时，极角可取任意角(3)如果(，)是点M的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ
2、)都可以看成点M的极坐标2极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(，)可以互化，公式是：或图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0,02.思考探究1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可2为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kZ)；二是终边在一条直线上且
3、互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kZ)3将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan (x0)确定时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角当x0时，角才能由tan 按上述方法确定当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：(1)当x0，y0时，可取任何值；(2)当 x0，y0时，可取；(3)当x0，y0时，可取.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_极坐标系中点的坐标写出图414中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(0,02)图414
4、【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A，B，C，D，E，F(3，)，G.再练一题1已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系由正六边形性质得：C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，)，A(a，)，B(a，)或C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，)，A(a，)，B(a，).极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M(3，)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标【自主解答】极坐标系中点M(，)关于极轴对称的点的极坐标为M(
5、，2k)(kZ)，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k)(kZ)再练一题2在极坐标系中，点A的极坐标为(限定0，02)(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是_；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_(3)点A关于直线对称的点的极坐标是_【解析】通过作图如图可求解为【答案】(1)(3，)(2)(3，)(3)(3，)极坐标与直角坐标的互化(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标(0，02)【自主解答】(1)x8cos4，y8sin4，因此，点M的直角坐标是(4,4)(2)2，tan ，又因为点P在第四象限且02，得.因此，点P的极坐标为(2，)再练一题3(1)把点
6、A的极坐标(2，)化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，)化成极坐标(0,02)【解】(1)x2cos ，y2sin 1，故点A的直角坐标为(，1)(2)2，tan .又因为点P在第四象限且02，得.因此点P的极坐标是(2，)极坐标系的应用在极坐标系中，已知A，B，求A、B两点之间的距离【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解【自主解答】对于A(3，)，x3cos()；y3sin()，A(，)对于B(1，)，x1cos ，y1sin ，B(，)AB4，A、B两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题因此，换一个坐标系，
7、把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了再练一题4在极坐标系中，已知三点：A(4,0)、B、C.(1)求直线AB与极轴所成的角；(2)若A、B、C三点在一条直线上，求的值【解】(1)点A的直角坐标为(4,0)，点B的直角坐标为(0，4)，直线AB在直角坐标系中的方程为xy4.故直线AB与x轴所成角为.(2)点C的直角坐标为，代入直线方程得4，解得4(1)真题链接赏析(教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：，(5，)，.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标(1)A(3，)；(2)B(2，2)；(
8、3)C(0，2)；(4)D(3,0)【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题【解】(1)由题意可知：2，tan ，所以，所以点A的极坐标为(2，)(2)4，tan ，又由于为第三象限角，故，所以B点的极坐标为(4，)(3)2.为，在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为(2，)(4)3，tan 0，故0.所以D点的极坐标为(3,0)1点P(2,2)的极坐标(0,2)为_【解析】由2，tan 1，P点在第二象限内，的极坐标为(2，)【答案】(2，)2在极坐标系中，与(，)关于极轴对称的点是_【导学号：98990004】【解析】极径为，极角为，关于极轴对称的角为负角，故所求的点为(，)【答案】(，)3将极坐标化为直角坐标为_【解析】xcos 2cos0，ysin 2sin2，故直角坐标为(0，2)【答案】(0，2)4已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于_【解析】由余弦定理得AB .【答案】我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_