初中数学数学论文从一个土豆大小谈起.doc

1、从一个土豆大小谈起这是一堂数学复习课。同学们根据复习内容立体图形的体积计算，早把学具一一作了准备。有的拿来 了长方体的铁盒，有的拿来了正方体的纸盒，有的拿来了圆柱形的铁桶，有的拿来了圆锥形的量杯谁知老 师却提来半桶水和一包细砂土，还带来一架称重量的天平，弄得同学们“丈二和尚摸不头脑”，纷纷议论“老 师要干什么呀？”“是不是换复习内容了？”这时，老师从兜里拿出一个土豆儿，高高举起来，说：“今 天咱们复习立体图形的体积计算，看谁能用学过的知识，计算出土豆儿的体积？”说着，神秘地看了看大家。 顿时，教室里静了下来。谁都知道，我们虽然学过正方体、长方体和圆柱体、圆锥体的体积计算，但是土 豆儿，方不方、

2、圆不圆，凸凸凹凹，是个不规则的形体，那怎么计算它的体积呢？大家你看看我，我看看你， 一时，谁也不知怎么办？ 正当同学们困惑不解的时候，老师拿起土豆儿，“咚”的一声，将它放入长方体的铁罐内，然后微笑着， 用期待的目光看着同学们。 “老师，我想出办法了！”小昆兴冲冲地走上讲台，他先用尺子从里面量出长方体铁罐的长（a）、宽（b ）和高（h,1）， 然后将土豆儿放入罐内，并用细砂把铁罐填满。他怕砂子表面不平，还用尺子沿罐边将砂 面刮平。 这时，有人插话：“要是知道砂子的体积，土豆儿的体积就等于铁罐的容积减去砂子的体积。” 小昆看了看插话的同学，继续有条不紊地操作。他小心翼翼地将土豆儿从罐内取出，唯恐带

3、出砂子，接着 再用小三角板将罐内的砂面刮平，并测出砂面的高度（h,2）， 然后对大家说：“罐内砂面的高度由h,1降 到h,2，就是因为取出土豆儿的缘故，所以，土豆儿的体积可以这样计算。”说着，就在黑板上板书起来。 土豆儿体积长方体铁罐容积铁罐内砂子体积 V,1V,2abh,1abh,2 “其实，小昆的计算方法可以改进”。还是刚才插话的那位同学，指着小昆的板书说：“abh,1abh, 2，就是ab（h,1h,2），也就是说，土豆儿的体积只要用铁罐的底面积乘以砂面的高度差就可以了。” “砂子面的高度差就是从罐内取出土豆儿后，砂面下降的高度，所以，计算土豆儿的体积，只要用长方体 铁罐的底面积乘以砂面

4、下降的高度就可以了。你们看”大为同学不仅进一步改进了计算方法，而且还在黑 板上画出示意图。 附图图 土豆儿体积长方体铁罐的底面积砂面下降的高度Vabh,3 这时，教室里的气氛热烈起来了。 “要是铁罐不漏水的话，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以计算出土豆儿的体积。” “用小昆的方法，如果用正方体的容器，也可以计算土豆儿的体积。”（见图） 附图图 土豆儿的体积正方体容器的底面积砂（水）面下降的的高度Va2h “只要容器的容积大于土豆儿的体积，都可以用上面的方法。你们看，我用这个铁盒也照样可以。”二刚 说着，高高地举起他带来的口小底大的铁皮盒。 这时，老师一边在黑板上画示意图，一边鼓励二刚：“可以

5、。请你具体讲一讲。” 附图图 “虽然这个容器的底儿是长方形，但是计算容积时，应该用它的横截面的面积，也就是梯形的面积乘以容 器的长。”说着，他干净利索地操作起来放入土豆儿，填满砂子，刮平砂面，取出土豆儿，刮平盒内砂面 ，测量容器的横截面上底（a），下底（即砂面的宽度）（b），砂面下降的宽度（h），及容器的长（f）。然 后，板书计算方法： 土豆儿体积横截面面积容器的长度V12（ab）hf “测量横截面的面积，也可以用中位线乘以高。”又有人插话。 “当然可以！”二刚指着容器内，取出土豆儿后，横截面上空出部分所呈现的梯形，胸有成竹地说，“只 要测出中位线（m）和高（h）就可以。” 土豆儿体积砂面下降

6、横截面面积容器的长Vmhf “刚才，同学们都利用计算直棱柱体积的方法，巧妙地解决了土豆儿体积的计算。大家想一想，还有别的 方法吗？”老师指着同学们带来的其它学具，启发大家。 这次，小刚同学抢先发了言：“我利用圆柱形的有机玻璃桶，照样可以计算土豆儿体积。” “那你试试看。”老师说。 小刚自信地走上讲台，开始操作：他把圆柱形的有机玻璃桶举到圆柱形的玻璃缸上方，用水将桶注满，然 后把土豆儿轻轻地、慢慢地放进桶里。这时，桶内的水沿着桶的边沿流入缸内，直到水滴停止。接着他从里面 测量了玻璃缸的底面直径和缸内的水面高度，然后，在黑板上板书： 土豆儿体积排出的水的体积玻璃缸的底面积流入缸内的水面高度Vshr

7、2h（d2）2h “这样测量不准确！” “可不，桶的侧面还粘有不少水呢！”不少同学提出了意见。 老师走上讲台，亲切安慰了小刚几句，然后对大家说：“谁能做得准确一些呢？” 话音刚落，小昆再次走上讲台。他先把土豆儿放进桶内，然后小心地将桶注满水，接着用两把小尺子轻轻 地插入桶内，去夹土豆儿。虽然动作很小心，但是桶内的水还是溢出一点儿，不过量很少，而且他不再测量流 出的水的体积，而是举起取出土豆儿后的桶，对大家说：“刚才满桶的水，现在桶内水面下降了。这下降部分 的体积，就是土豆儿的体积。”小昆见同学们都在认真听讲，接着说：“所以，只要从里面量出桶底的直径和 取出土豆儿后水面下降的高度，就可以算出土豆

8、儿的体积了。” 正当小昆拿起尺子要测量时，大为高高地举起右手发言：“我认为小昆的测量方法还是不够准确。” “那你来” 大为大大方方地走上讲台，先往圆柱形的空桶内注进半桶左右的水，并用红粉笔在桶的外侧面做上水面高 度的记号，然后对大家说：“桶内注水的多少，得估计能没过整个土豆儿。”接着他轻轻地将土豆儿放地桶里 ，眼看着桶内的水面很快上升，直到土豆儿整个浸没在水中。这时，他拿起尺子测量桶内水面上升的高度（h） ， 桶底的底面直径（d）。最后，大为转过身去，在黑板上画出示意图，并写出计算土豆儿体积的方法。 附图图 土豆儿体积桶内水上升的体积桶的底面积水上升的高度Vshr2h（d2）2h 同学们都一致

9、认为：大为的计算方法既简单又准确，不过也有人说：“用大为的办法，必须在放进土豆儿 之前，预先估计到先注入桶内的水，能完全浸没整个土豆儿，否则就更不准确了。”大为听了，连连点头说“ 是”。 “下面请二林同学发言。”随着老师的话音，二林高高地举着圆锥形的玻璃容器，神气地问：“你们能用 它来测量土豆儿的体积吗？” “那你会吗？”同学们反问。 “请大家看”二林先在黑板上画了两幅示意图，然后指着左边的图对大家说：“这是照小昆方法，先 将土豆儿放入容器内，用砂子把容器填满，刮平砂面，再取出土豆儿；然后从里面测量圆锥形容器的底面直径 （d,1）、高（h,1），测量取出土豆儿后容器内砂面的直径（d,2）、高（

10、h,2）。这样，就可以利用 圆锥体积计算公式，求出土豆儿的体积。” 附图图 土豆儿体积圆锥形容器的容积取出土豆儿后容器内砂子体积V13s,1h,113s,2h,213r2,1h,113r2,2h,213（d,12）2h,113（d,22）2h,2 接着，二林指着右边的示意图，说：“这是照大为的方法，先在容器内注入一定量的水（能整个没过土豆 儿），从里面量出水面高度（h,1）和水面的直径（d,1），然后再放入土豆儿，待土豆儿完全被浸没，再 从里面量出水面上升的高度h,2）和直径（d,2）。这样也可以计算出土豆儿的体积。” 附图图 土豆儿体积放入土豆儿后容器内的体积容器内原有的水的体积 V13s,2h,213s,1h,1 13r2,2h,213r2,1h,1 13（d,22）2h,213（d,12）2h,1 二林的话刚讲完，二刚边举手边站起来，说：“为什么不直接利用底面积乘以砂面下降或水面上升的高度 ，来计算呢？”3