1、模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上)1.已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_.【解析】|z|i2|.【答案】2.若f(x)sin cos x(是常数)，则f()_.【解析】f(x)(sin cos x)sin x，f()sin .【答案】sin 3.(2016重庆一中高二期末)复数z满足zi2i10(其中i为虚数单位)，则z_.【解析】由zi2i10得z2i.【答案】2i4.若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的 解集为_.【解析】f(x)2x20，0.x0，(x2)(x1)0.x2.【答案】(2
2、，)5.(2016淄博质检)设复数z(m22m15)i为实数，则实数m的值是_.【解析】由题意知m22m150，解之得m3或m5.当m5时，无意义，所以m3.【答案】36.函数yln x(x0)的图象与直线yxa相切，则a等于_. 【导学号：01580074】【解析】y(ln x)(x0)，又yln x的图象与直线yxa相切，x2，因此，切点P(2，ln 2)在直线yxa上，ln 21a，aln 21.【答案】ln 217.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有_个小正方形.图1【解析】第n个图形中有小正方形12(n1)(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】668.用数
3、学归纳法证明“11)”时，由nk(k1，kN*)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_.【解析】令f(n)1，f(k1)1，因此应增加的项为，共2k项.【答案】2k9.(2016天津高考)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_.【解析】因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.【答案】210.(2016咸阳模拟)表示不超过的最大整数.S13，S210，S321，那么Sn_.【解析】S113，S225，S337，观察式子规律，可以得出Snn(2n1).【答案】n(2n1)11.(2014湖南高考改编)若0x1x2
4、ln x2lnx1；ex2ex1x1ex2；x2ex1x1ex2. 【导学号：01580075】【解析】设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10，根据函数yex与y的图象可知两函数图象交点x0(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故不正确.令g(x)(0x1)，则g(x).当0x1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上单调递减，0x1x21，g(x2)g(x1)，即x1ex2.即正确.【答案】12.函数yx2ln x的单调递减区间是_.【解析】yx(x0)令y0，0x1，即函数yx2ln x的单调递减区间是(0,1).【答案】(0,1)1
5、3.(2016大连测试)已知函数f(x)ex2x1(其中e为自然对数的底数)，则yf(x)的图象大致为_(填序号).图2【解析】依题意得f(x)ex2.当xln 2时，f(x)f(ln 2)12ln 2；当xln 2时，f(x)0，f(x)是增函数，因此对照图象知正确.【答案】14.观察下列推理过程：2，tan ，tan 2，tan 4，由此可化简：tan 2tan 4tan 8tan 16tan _.【解析】由推理过程得tan ，2tan 2，4tan 4，8tan 8，16tan 16，将这五个等式相加，得tan 2tan 24tan 48tan 816tan 16，令，可得原式.【答案】
6、二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.复数z1(a210)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值.【解】1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.a50，a5，故a3.16.(本小题满分14分)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围.【解】(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x(， 1)时，f(x)0，f(x)在(，1)
7、上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1, 1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数.(2)由f(2)0，得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.17.(本小题满分14分)设等差数列an的公差为d，Sn是an中从第2n1项开始的连续2n1项的和，即S1a1，S2a2a3，S3a4a5a6a7，Sna2n1a2n11a2n1，若S1，S2，S3成等比数列，问：数列Sn是否成等比数列？请说明你的理由.【解】S1，S2，S3成等比数
8、列，S1a10，且S1S3S，由S1S3S，得a1(a4a5a6a7)(a2a3)2，即a1(4a118d)(2a13d)2,2a1d3d2.d0或a1d.当d0时，Sn2n1a10，2(常数)，nN*，Sn成等比数列；当a1d时，Sna2n1a2n11a2n12n1a2n1d2n1a1(2n11)dd2n1d4n10，4(常数)，nN*，Sn成等比数列.综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则Sn成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)f(x)ax3x2b(xR)
9、，其中a，bR，若函数g(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围.【解】(1)因为f(x)在区间(0，)上是单调增函数，所以m22m30，即m22m30，所以1m0，所以a11.由S2a1a2，得a2a210，所以a21，由S3a1a2a3，得a2a310，所以a3.(2)猜想an(nN*).证明：当n1时，a11，命题成立；假设nk(k1，kN*)时，ak成立，则nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，所以a2ak110.所以ak1，则nk1时，命题成立.则知，nN*，an.20.(本小题满分16分)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x).所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.