1、广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（A卷）（理科）一.选择题1（5分）命题“若x2015，则x0”的否命题是（）A若x2015，则x0B若x0，则x2015C若x2015，则x0D若x0，则x20152（5分）若aR，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3（5分）在A BC中，角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45，B=60，则b=（）A2B2C2D4（5分）已知等比数列an，a1=1，a3=，则a5=（）ABCD5（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=x，焦点在x轴上，焦距为20，
2、则它的方程为（）A=1B=1C=1D6（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=1，S5=15，则数列的前10项和为（）ABCD7（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，设，则x，y，z的值分别是（）ABCD8（5分）设a0，b0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）A6B3+2C1D9（5分）方程pxqy2=0与px2qy2=1（pq0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）ABCD10（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A2BCD4二.填空题
3、11（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为12（5分）已知等差数列an，a1=1，公差d0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=13（5分）若命题“x0R，x02+（a1）x0+10”是假命题，则实数a的取值范围为14（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数m2（m1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点曲线C关于坐标原点对称若点P在曲线C上，则F1PF2的面积的最大值为其中所有正确结论的序号是三.解答题15（12分）在A BC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，cosB=且ac=35（1）求ABC的面积；（2）若a=7，求角C16（12
4、分）设命题p：实数x满足x25ax+4a20，其中a0，命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围17（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18（14分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB=60，AB=2
5、CD=2，M是线段AB的中点（）求证：C1M平面A1ADD1；（）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值19（14分）已知Sn为数列an的前n项和，且a1=1，Sn+1=an+1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b，其前n项和为Tn，求证：1是否存在最小整数m，使得不等式m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由20（14分）已知椭圆+=1（ab0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D（1）求
6、椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（A卷）（理科）参考答案与试题解析一.选择题1（5分）命题“若x2015，则x0”的否命题是（）A若x2015，则x0B若x0，则x2015C若x2015，则x0D若x0，则x2015考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：否命题是既否定题设又否定结论，从而得到答案解答：解：命题“若x2015，则x0”的否命题是：若x2015，则x0，故选：C点评：要将命题的否定和否命题区分开来，本题属于基础题2（5分）若aR，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）A充要条件B充分不必要条
7、件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，解答：解：若a=2，则（a2）（a+4）=0，是充分条件，若（a2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题3（5分）在A BC中，角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45，B=60，则b=（）A2B2C2D考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理可得b=，代入已知即可求值解答：解：由正弦定理可得：b=2故选：A点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础
8、题4（5分）已知等比数列an，a1=1，a3=，则a5=（）ABCD考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质可得a32=a1a5，代值计算可得解答：解：等比数列an，a1=1，a3=，a32=a1a5，=1a5，解得a5=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题5（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A=1B=1C=1D考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出双曲线的方程，求出渐近线方程，可得a=2b，a2+b2=100，解方程即可得到双曲线的方程解答：解：设双曲线的方程为=
9、1（a0，b0），则渐近线方程为y=x，则有=，c=10，a2+b2=100，解得a2=80，b2=20，即有双曲线的方程为=1故选D点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题6（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=1，S5=15，则数列的前10项和为（）ABCD考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差推出通项公式，然后利用裂项法求解数列的和解答：解：等差数列an的前n项和为Sn，a1=1，S5=15=5，可得a5=5d=1，an=n，=，数列的前10项和为：=故选：A点评：本题考查数列的
10、求和的方法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理应用7（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，设，则x，y，z的值分别是（）ABCD考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：利用已知条件，转化向量关系，通过平面向量的运算，推出结果即可解答：解：空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，可知，=，=，x，y，z的值分别是故选：A点评：本题考查平面向量基本定理的应用，空间向量转化为平面向量的解题的关键8（5分）设a0，b0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）A6B3+2C1D考点：基
11、本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：是5a与5b的等比中项，可得a+b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：是5a与5b的等比中项，5a5b=5，a+b=1a0，b0，=（a+b）=3+=3+2当且仅当a=b时取等号的最小值为3+2故选：B点评：本题考查了等比数列的性质、指数运算法则、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题9（5分）方程pxqy2=0与px2qy2=1（pq0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）ABCD考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：函数的性质及应用分析：分别根据圆锥曲线的定义，逐一判断和每个选项，即可得到答案解答：解：方程pxqy2=
12、0可化为y2=x，这表示焦点在x轴的抛物线，排除D；当开口向右时，0，则pq0，所以px2qy2=1（pq0）表示双曲线，排除C；当开口向左时，0，则pq0，所以px2qy2=1（pq0）表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B；故选：A点评：本题考查了圆锥曲线的方程，利用排除法时选择题常用的方法，属于基础题10（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A2BCD4考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得
13、到结论解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2F1MF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2，即=1，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，即=1，联立得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）（1+）2，即（+）24=，即+，当且仅当e1=，e2=时取等号即取得最大值且为故选C点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键
14、难度较大二.填空题11（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4=1抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键12（5分）已知等差数列an，a1=1，公差d0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=31考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得（1+d）2=1（1+5d），解得d由等差数列的通项公式可得解答：解：等差数列an，a1=1，公差d0，且a1，a2，a6成等比
15、数列，a22=a1a6，代入数据可得（1+d）2=1（1+5d），解得d=3，或d=0（舍去）a11=a1+10d=1+103=31故答案为：31点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的通项公式，属基础题13（5分）若命题“x0R，x02+（a1）x0+10”是假命题，则实数a的取值范围为1，3考点：特称命题；命题的否定 专题：规律型分析：根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围解答：解：命题“x0R，x+（a1）x0+10”是假命题，命题“xR，x2+（a1）x+10”是真命题，即对应的判别式=（a1）240，即（a1）24，2a12，即1
16、a3，故答案为：1，3点评：本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础14（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数m2（m1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点曲线C关于坐标原点对称若点P在曲线C上，则F1PF2的面积的最大值为其中所有正确结论的序号是考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），由两点的距离公式得到动点的轨迹方程，代入原点
17、，即可判断；把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变，即可判断；求出面积，由轨迹方程解得y2，再配方求得最大值，即可判断解答：解：对于，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：=m2（x+1）2+y2（x1）2+y2=m4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，故错；对于，把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称故正确；对于，由题意知点P在曲线C上，则F1PF2的面积S=2|y|=|y|，由（1）式平方化简的：y4+（x+1）2+（x1）2y2+（x21）2m4=0y2=x21+或y2=x21（舍） 把三角形的面积式子平方得：S2=y2 对于
18、y2=x21+（2） 令=t（tm21）x2=，代入（2）得y2=+1+t=（t2）2+，故可知Sm2，故错故答案为：点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域三.解答题15（12分）在A BC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，cosB=且ac=35（1）求ABC的面积；（2）若a=7，求角C考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求SABC的值（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值解答：解：（1）
19、cosB=，且B（0，），sinB=，又ac=35，（3分）SABC=acsinB=14（6分）（2）由ac=35，a=7，得c=5，（7分）b2=a2+c22accosB=49+252=32，b=4，（9分）cosC=（10分）又C（0，）（11分）C=（12分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题16（12分）设命题p：实数x满足x25ax+4a20，其中a0，命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命
20、题的真假 专题：简易逻辑分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用pq为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；（2）求出命题p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围解答：解：（1）若a=1，不等式为x25x+40，即1x4，即p：1x4，由x24x+30得（x3）（x1）0，则1x3，即q：1x3，若pq为真，则p，q同时为真，即，解得1x3，则实数x的取值范围是1x3；（2）x25ax+4a20，（xa）（x4a）0，若a0，则不等式的解为ax4a，若a0，则不等式的解为4axa，q：1x3，若p是q的必要不充分条件，则a0，且，即a1，则实数a的取
21、值范围是，1点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键17（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可解答：解：设甲、乙两种蔬
22、菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则（1分）（5分）目标函数为z=0.3x+0.2y，（6分）不等式组等价于可行域如图所示，（9分）当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数z取最小值（10分）解方程组得M的坐标（75，225）（12分）所以zmax=0.375+0.2225=67.5（13分）答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元（14分）点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键18（14分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB=60，AB=2CD
23、=2，M是线段AB的中点（）求证：C1M平面A1ADD1；（）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何分析：（）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M平面A1ADD1；（）作CPAB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（1，0，），D1，（0，0，），M（，0），=（1，1，0），=（，），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，
24、2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值解答：解：（）连接AD1，ABCDA1B1C1D1为四棱柱，CDC1D1，又M为AB的中点，AM=1CDAM，CD=AM，AMC1D1，AMC1D1为平行四边形，AD1MC1，又MC1平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1，C1M平面A1ADD1；（）解法一：ABA1B1，A1B1C1D1，面D1C1M与ABC1D1共面，作CNAB，连接D1N，则D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，DAB=60，CN=，在RtD1CN中，CD1=，CN=，D1N=cosD1C
25、N=解法二：作CPAB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（1，0，），D1，（0，0，），M（，0），=（1，0，0），=（，），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，=（0，2，1）显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos，|=，显然二面角为锐角，平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知Sn为数列an的前n项和，且a1=1，Sn+1=an+1（
26、nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b，其前n项和为Tn，求证：1是否存在最小整数m，使得不等式m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）在数列递推式中取n=n1得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数列的通项公式能求出数列an的通项公式（2）把数列an的通项代入bn=，利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn，由此能证明1把Sk，Tk代入，整理后利用裂项相消法化简，放缩后可证得数列不等式=，由此能求出m的取值范围解答：（1）解：当n=1时，a2=S1+1=a1+1=2，当n2
27、时，Sn+1=an+1，Sn1+1=an，两式相减得an+1=2an，又a2=2a1，an是首项为1，公比为2的等比数列，（2）证明：由（1）得，=，Tn=，=，得=，1，又Tn是增数列，（Tn）min=T1=1=，1解：设ck=，则ck=2（），=，m对任意正整数n恒成立，m2点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法与错位相减法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题20（14分）已知椭圆+=1（ab0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D（1）求椭圆的方程；（2）求+的
28、值；（3）求|AB|+|CD|的最小值考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过椭圆的定义直接计算可得结论；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论即可；（3）通过+=，利用基本不等式计算即得结论解答：解：（1）由椭圆的定义可知：2a=|MF1|+|MF2|=+=4，a=2，由c=1得：b=，故椭圆的方程为：+=1；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分两种情况讨论如下：1当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0此时|AB|=3，|CD|=4，+=；2当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x1）（k0），则CD：y=（x1）又设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y并化简得：（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，|AB|=，+=，综上所述，+为定值；（3）解：由（II）知+=，|AB|+|CD|=（|AB|+|CD|）（+）=（+）（+2）=，当且仅当=，即|AB|=4、|CD|=3时取等号，|AB|+|CD|的最小值为点评：本题考查椭圆与直线方程，利用用韦达定理是解题的关键，需要较强的计算能力，属于中档题
