1、第五节 椭 圆内容索引必备知识自主学习核心考点精准研析核心素养测评【教材知识梳理】1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离_等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_.(2)集合P=M|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹为_；当2a=|F1F2|时，M点的轨迹为_；当2ab0)_(ab0)性质范围_x_，_y_x_，_y_对称性对称轴：_对称中心：_顶点A1_，A2_B1_，B2_A1_，A2_B1_，B2_轴长轴A1A2的长为_ 短轴B1B2的长为_
2、b焦距|F1F2|=_离心率e=_-aa-bb-bb-aa坐标轴原点(-a，0)(a，0)(0，-b)(0，b)(0，-a)(0，a)(-b，0)(b，0)2a22c(0，1)【常用结论】1.椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，直接设为=1(ab0).2.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.3.椭圆的常用性质(1)设椭圆=1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x=0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x=a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处
3、.(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2=b2+c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦的长为(5)椭圆离心率e=4.直线与椭圆位置关系的判断联立直线与椭圆方程构成方程组，消掉y，得到Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A不为0)，设其判别式为：(1)0直线与椭圆相交；(2)=0直线与椭圆相切；(3)0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()(5)=1(ab0)与=1(ab0)的焦距相同.()(6)=1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆.()提示:(1).由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是
4、椭圆,而该常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段,该常数小于|F1F2|时,不存在轨迹.(2).因为e=,所以e越大,则越小,椭圆就越扁.(3).PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.(4).方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)可化为=1,表示的曲线是椭圆.(5).=1(ab0)与=1(ab0)的焦距都是2 .(6).条件没有点明a与b的大小关系,故不能判断a2与b2的大小,即不能判断焦点所在坐标轴.【易错点索引】序号易错警示典题索引1不会判断周长最大的情况,认为t=0时最大考点一、T32易漏解考点二、变式13易漏掉直线与x轴重合的情况考点三、角度2【教材基础
5、自测】1.(选修2-1P47习题2-2AT4改编)椭圆=1的焦距为4,则m等于()A.4B.8C.4或8D.12【解析】选C.焦点在x轴上时,(10-m)-(m-2)=4,解得m=4;焦点在y轴上时,(m-2)-(10-m)=4,解得m=8.综上可得m的取值为4或8.2.(选修2-1P46练习AT2(5)改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为,则C的方程是()A.B.C.D.【解析】选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义:椭圆的焦点在x轴上;c=1.又离心率为,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为.3.(选修2-1P74巩固与提高T4改编)曲线=1与曲线
6、=1(k36)的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等【解析】选D.曲线=1中c2=(100-k)-(36-k)=64,所以c=8,所以两曲线的焦距相等.4.(选修2-1P42练习AT3改编)如果椭圆=1上一点P到焦点F1的距离等于8,那么点P到另一个焦点F2的距离是_.【解析】根据定义|PF1|+|PF2|=2a,又a2=36,即a=6,所以8+|PF2|=12,即|PF2|=4.答案:45.(选修2-1P47习题2-2AT5改编)椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,则F1AB的周长为_.【解析】F1AB周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.在椭圆=1中,a2=25,则a=5,所以F1AB的周长为4a=20.答案:20本课结束
