1、2.8 函数与方程一、选择题1下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()解析图A没有零点，因此不能用二分法求零点图B与图D中均为不变号零点，不能用二分法求零点；故只有C图可用二分法求零点答案C2函数f(x)的零点有()A0个 B1个C2个 D3个解析 由f(x)0得：x1，f(x)只有一个零点，故选B.答案 B3方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A1 B2 C3 D4解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点方程有两解答案B【点评】 本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.4已
2、知二次函数f(x)x2(m1)x2m在0,1上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为()A(2,0) B(1,0)C2,0 D(2，1)解析 (1)当方程x2(m1)x2m0在0,1上有两个相等实根时，(m1)28m0且01，此时无解(2)当方程x2(m1)x2m0有两个不相等的实根时，有且只有一根在(0,1)上时，有f(0)f(1)0，即2m(m2)0，解得2m0；当f(0)0时，m0，f(x)x2x0，解得x10，x21，符合题意；当f(1)0时，m2，方程可化为x23x40，解得x11，x24，符合题意综上所述，实数m的取值范围为2,0答案C5.函数f(x)=ln的零点一定位于区间( )
3、 A.(1,2)B.(2,3) C.(3,4)D.(4,5) 解析 由于f(1)f(2)=(lnln3-1)1. 14对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)ax2(b1)xb1(a0)(1)当a1，b2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围解析(1)当a1，b2时，f(x)x2x3，由题意可知xx2x3，得x11，x23故当a1，b2时，f(x)的不动点是1,3.(2)f(x)ax2(b1)xb1(a0)恒有两个不动点，xax2(b1)xb1，即ax2bxb10恒有两相异实根，b
4、24ab4a0(bR)恒成立于是(4a)216a0解得0a1，故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1.15已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点思路分析由题意可知，方程4xm2x10仅有一个实根，再利用换元法求解解析f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零
5、点为x0.【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题16 (1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解析(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，在5m1.故m的取值范围为(5，1)法二由题意，知即5m1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图象由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点故a的取值范围为(4,0)