1、课时作业(五十三)一、选择题1水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A0B8C奥 D运答案B2(2010福建卷，理)如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面FEGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中正确的是()AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱形D是棱台答案D解析根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)因此，几何体不是棱台，应选D.3如图，在多
2、面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B.C. D.答案A解析分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH. V1112.4(09东北三校第一次联考)正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角的60，过底面一边作一截面使其与底面成30的二面角，则此截面的面积为()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案D解析如图所示，正三棱锥PABC中ABa，作PO面ABC，则PAO为侧棱与底面所成的角，即PAO60.连接AO并延长交BC于一点M，在PA上取一点N，使AMN30，连接BN、NC，可得截面NBC，
3、由MNBC，AMBC可得AMN就是二面角NBCM的平面角，ANMN，又AMa，得MNAMsin60BCa，SNBCBCMNaaa2，故应选D.5如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，高为4，过AB作一截面交侧棱CC1于点P，截面与底面成60角，则截面PAB的面积是()A2 B3C. D.答案A解析由题意，在图中作PDAB于D点，连结CD，在RtPDC中，CD，PDC60，则PD2，所以截面PAB的面积为222，故选A.6若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于()A. B2C3 D4答案B解析如下图，在三棱柱ABCA1B1C
4、1中，设AA1B1AA1C160，由条件有C1A1B160，作AO面A1B1C1于点O，则cosAA1O，sinAA1O.AOAA1sinAA1O.于是，VABCA1B1C1SA1B1C1AO22sin602.二、填空题7一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2.则该三角形的斜边长为_答案2解析正三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，边长为2，DEF为直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DEEFx，作DGBB1，HGCC1，EICC1，EG，FI，FHFIHIFIEG2，在RtDHF中，DF2DH2FH2，即x24(2)2，解得x2.8如图所
5、示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1.若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为_答案9已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于_答案解析底面正方形面积S(2)212，底面边长a，高h，二面角的余切值tan.代入数据，得：tan.又必为锐角，所以.三、解答题10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点(1)求二面角A1BDM的大小；(2)求四面体A1BDM的体积解析(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，取BD的中点为O，连结OM，OA1.BMDM，A1BA1D，从而A1OBD，MOBD，A1OM
6、为二面角A1BDM的平面角，在A1OM中，OM，A1O，而A1M，从而由勾股定理可知：A1OM90.(2)由(1)可知A1O平面BDM，从而四面体A1BDM的体积VSBDMA1O().11如图，平面ADE面ABCD，ADE是边长为a的等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，EC与面ABCD成30角，(1)求四棱锥EAFCD的体积；(2)求二面角ECFD的大小；(3)求D到面EFC的距离思路点拨无论是求体积还是确定二面角的平面角，其关键都是确定平面ABCD的垂线，对于求点D到平面EFC的距离可考虑用体积转化法求之解析(1)EHAD于H面ADE面ABCDEH面ABCDADE是边长为a的等边三角
7、形H为AD中点，且EHa连结CH，则ECH为EC与面ABCD所成的角ECH30在RtCEH中，EHa，CHa；CEa在RtCDH中，CHa，DHa，CDaAFABCDaS梯形AFCD(AFCD)ADa2VEAFCES梯形AFCDEHa2aa3(2)AFAH，由三垂线定理可证AFAE在RtAEF中EFa在RtCBF中，CFa在CEF中，EF2CF2CE2，EFC90由三垂线逆定理可得HFCFEFH为所求的二面角ECFH的大小在RtEFH中，sinEFHEFH45(3)设D到面EFC的距离为h，SEFCEFCFa2SCDFADCDa2由VDCEFVECDF得，ha即D到面EFC的距离为a.12(2
8、011唐山一中)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC，BC1，CC1，D是CC1的中点(1)求证：A1D平面AB1C1；(2)求二面角BAB1C1的大小(用反三角函数表示)解析(1)由ACB90，知BCAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，又ACCC1C，BC平面ACC1A1，又A1D平面ACC1A1，BCA1D，而B1C1BC，A1DB1C1.在RtACC1和RtA1DC1中，ACA1C1，CC1，C1D，tanAC1C，tanA1DC1，AC1CA1DC190，A1DAC1，又B1C1AC1C1，A1D平面AB1C1.(2)设A1DAC1E，作A1FAB1，垂
9、足为F，且A1FBB1G.连结EF.由(1)知A1D平面AB1C1，A1DAB1，又A1FAB1，A1DA1FA1，AB1平面A1DF，则EFAB1，EFG是二面角BAB1C1的平面角在RtAA1C1、RtAA1E、RtAA1B1、RtAA1F和RtA1EF中，AA1，A1C1，AC13，A1B12，AB1，A1EA1F，sinA1FE，A1FEarcsin.二面角BAB1C1的大小为arcsin.13(2010四川卷)已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点(1)求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；(2)求二面角MBCB的大小；(3)求三棱锥MOB
10、C的体积解析(1)连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK.因为点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，所以AM綊DD綊OK，所以MO綊AK.由AAAK，得MOAA.因为AKBD，AKBB，所以AK平面BDDB，所以AKBD，所以MOBD.又因为OM与异面直线AA和BD都相交，故OM为异面直线AA和BD的公垂线(2)取BB的中点N，连结MN，则MN平面BCCB.过点N作NHBC于H，连结MH，则由三垂线定理得，BCMH.从而，MHN为二面角MBCB的平面角因为MN1，所以NHBNsin 45.在RtMNH中tanMHN2.故二面角MBCB的大小为arctan 2.(3)易知，SOBC
11、SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD的距离h.VMOBCVMOADVOMADSMADh.14(2010天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解析(1)设AB1，可得AD2，AA14，CF1，CE，连接B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，易知A1DB1C.由，可知EFBC1.故BMC是异面直线EF与A1D所成的角，易知BMCMB1C，所以cosBMC.所以异面直线EF与A1D所成角
12、的余弦值为.(2)连接AC，设AC与DE交于点N.因为，所以RtDCERtCBA.从而CDEBCA，又由于CDECED90，所以BCACED90，故ACDE，又因为CC1DE且CC1ACC，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF，从而AFB1C，所以AFA1D，因为DEA1DD，所以AF平面A1ED.(3)连接A1N，FN，由(2)可知DE平面ACF，又NF平面ACF，A1N平面ACF，所以DENF，DEA1N，故A1NF为二面角A1EDF的平面角易知RtCNERtCBA，所以，又AC，所以CN，在RtCNF中，NF，在RtA1AN中，A1N.连接A1C1，A1F，在RtA1C1F中，A1F.在A1NF中，cosA1NF.所以sinA1NF.所以二面角A1EDF的正弦值为.