1、第一章 三角函数 阶段综合提升 第二课 三角函数的图象与性质及其应用 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 三角函数的图象及解析式的确定【例1】(1)函数ytan12x3 在一个周期内的图象是()(2)如图所示是函数yAsin(x)(A0，0)图象的一部分，则其函数解析式是()Aysinx3 Bysinx3Cysin2x6Dysin2x6(3)已知f(x)12 sin2x4，画出f(x)在x2，2 上的图象(1)A(2)A(1)ytan12x3 的周期T122，排除B，D.当x0时，tan3 3.故选A.(2)由图象易看出A1，由463 2 得1，再由62得3，故选A.(3)
2、解 x2，2，2x454，34.列表：x2 3888382 2x4 54 20234 f(x)211 211 22 描点连线如图所示：1用“五点法”作函数 yAsin(x)图象的步骤：第一步：列表，由 x0，2，32，2 先求出 x，再由 x 的值求出 y 的值x2322 x02322 y0A0A0 第二步：在同一坐标系中描出各点 第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象 2由已知条件确定函数 yAsin(x)的解析式，需要确定 A，其中 A，易求，下面介绍求 的几种方法 平衡点法 由 yAsin(x)Asinx 知它的平衡点的横坐标为，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横
3、坐标为 x1，则可求.确定最值法 这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程 利用单调性 将函数 yAsin(x)的图象与 ysin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出.跟进训练 1已知函数 yAsin(x)(0)的振幅为 4，周期为 6，初相为3.(1)写出这个函数的解析式；(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象解(1)由已知得 A4，2T 13，3，因此这个函数的解析式为 y4sin13x3.(2)列表：x5241127 13x302322 y4sin13x304040 描点画图，其图象如图所示：三角函数的
4、图象变换问题【例 2】(1)将函数 f(x)2sin2x6 的图象向右平移 m 个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值是_(2)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0,02)的图象上的一个最低点为 M23，2，周期为.求 f(x)的解析式；将 yf(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移6个单位，得到函数 yg(x)的图象，写出函数 yg(x)的解析式；当 x0，12 时，求函数 f(x)的最大值和最小值思路点拨：(1)使平移后的初相位为 k2(kZ)即可(2)确定解析式图象变换研究函数的性质(1)6 f
5、(x)2sin2x6 向右平移 m 个单位得 y2sin2x2m6为偶函数，所以 2m62k(kZ)m6k2(kZ)，因为 m0，所以 mmin6.(2)解 由题可知 T2，2.又 f(x)min2，A2.由 f(x)的最低点为 M，得 sin43 1.02，43 43 116.43 32.6.f(x)2sin2x6.y2sin2x6 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y2sin122x6 2sinx6 沿x轴向右平移6个单位y2sinx6 6 2sin x，g(x)2sin x.0 x 12，62x63.当 2x66，即 x0 时，f(x)min2sin 61，当 2x63，即 x 12时，
6、f(x)max2sin3 3.1函数ysin x的图象变换到yAsin(x)，xR图象的两种方法2对称变换(1)yf(x)的图象关于x轴对称 yf(x)的图象；(2)yf(x)的图象关于y轴对称yf(x)的图象；(3)yf(x)的图象关于0，0对称yf(x)的图象跟进训练 2将函数ysin2x3 的图象先沿x轴向右平移4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，求与最终的图象对应的函数的解析式解 将原函数的图象沿x轴向右平移 4 个单位长度后，与其对应的函数的解析式为ysin2x4 3 sin2x56，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，则与其对应的函数的解析式为y
7、sin4x56.三角函数的性质【例3】(1)若函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A.0，2B.2，C.4，2D.34，(2)已知函数f(x)2sin2x6 a1(其中a为常数)求f(x)的单调区间；若x0，2 时，f(x)的最大值为4，求a的值思路点拨：(1)先根据函数f(x)是偶函数，求，再依据单调性求增区间，最后与0，求交集(2)由2k22x62k2，kZ求增区间，由2k22x62k32，kZ求减区间；先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值(1)B 因为函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，所以2，f(x)3sin2x2 3c
8、os 2x，令2k2x2k，得k2xk，可得函数f(x)的递增区间为k2，k，kZ，所以f(x)在0，上的单调递增区间为2，.(2)由22k2x622k，kZ，解得3kx6k，kZ，函数f(x)的单调增区间为3k，6k(kZ)，由 2 2k2x632 2k，kZ，解得6kx23 k，kZ，函数f(x)的单调减区间为6k，23 k(kZ)0 x2，62x676，12sin2x6 1，f(x)的最大值为2a14，a1.1求本例(2)中函数yf(x)，xR取最大值时x的取值集合解 当f(x)取最大值时，2x622k，2x32k，x6k，kZ.当f(x)取最大值时，x的取值集合是 xx6k，kZ.2在
9、本例(2)的条件下，求不等式f(x)1的解集解 由f(x)1得2sin2x6 21，所以sin2x6 12，所以2k56 2x62k6，kZ.解得k2xk6，kZ.所以不等式f(x)1的解集为 xk2xk6，kZ.三角函数性质的理解与记忆(1)函数 ysin x 和 ycos x 的周期是 2，ytan x 的周期是；函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的周期是2|，yAtan(x)的周期是|.(2)函数 ysin x 和 ycos x 的有界性为：1sin x1，1cos x1，函数 ytan x 没有最值有界性可用来解决三角函数的最值问题(3)函数ysin x在22k，22k上递增，
10、在22k，32 2k 上递减；函数ycos x在2k，2k上递增，在2k，2k上递减；函数ytan x在2k，2k 上递增，以上kZ.(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(x)的单调区间时，采用整体代换的方法将x视为整体求解相应x的范围即可，注意的符号及A对单调性的影响三角函数的实际应用【例4】(1)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sin6x k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_(2)如图，点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置 P0 开始，按逆时针方向以角速度
11、rad/s 做圆周运动，求点 P的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系，并求点的运动周期和频率(1)8 根据图象得函数最小值为 2，有3k2，k5，最大值为 3k8.(2)当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时，点 P 转过的角度为 t，则POxt.由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为 yrsin(t)，即为所求的函数关系式 点 P 的运动周期为 T2，频率为 f1T 2.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验跟进训练 3某地昆虫种群数量在七月份 113 日的变化如图所示，且满足 yAsin(x)b(0，0)根据图中数据求函数解析式解 由图象可知 ymax900，ymin700，且 Abymax，Abymin，所以 Aymaxymin29007002100，bymaxymin2800，且 T122，所以 6，将(7,900)代入函数解析式得6722k，kZ.所以 232k，kZ.因为0，所以 23，因此所求的函数解析式为：y100sin6x23 800.点击右图进入 阶 段 强 化 训 练 Thank you for watching!