1、知识点一双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做_，两焦点间的距离叫做_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当_时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_时，P点的轨迹是两条射线；(3)当_时，P点不存在知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围对称性对称轴：_对称中心：_顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线离心率e，e_，其中c_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段B1B2叫做双曲线的虚
2、轴，它的长|B1B2|_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2_ (ca0，cb0)规律与方法：巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)的左，右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线，设过点M(b,0)且平行于l1的直线交l2于点P.若PF1PF2，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.例4(2016年10月学考)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若|F1B|3|F2A|，则该双
3、曲线的离心率是()A.B.C.D2例5(2016年4月学考)已知双曲线1(a0，b0)若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x轴均相切，则双曲线的离心率为_例6已知点P在双曲线1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是_一、选择题1已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)2双曲线15y2x215与椭圆1的()A焦点相同B焦距相同C离心率相等D形状相同3已知双曲线y21的焦点为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程是()Ay
4、xByxCyxDyx4若双曲线1上点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(5,0)的距离为()A7B23C5或25D7或235焦点为(0,6)，且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是()A.1B.1C.1D.16已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21Bx21C.1D.17已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则双曲线E的离心率为()A.B.C.D28双曲线x2y21的一弦中点为(2,1)，则此弦所在的直线的方程为()Ay2x1By2x2Cy2x3Dy2x3二
5、、填空题9在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1(a0，b0)过点P(1,1)，其中一条渐近线方程为yx，则该双曲线的方程为_10设F1、F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF290，则F1PF2的面积是_11已知双曲线1(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点若OMON，则双曲线的离心率为_12设过双曲线x2y29左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点若|PQ|7，则F2PQ的周长为_答案精析知识条目排查知识点一距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距(1)2a|F1F2|知识点二xa或xa，yRxR，ya
6、或ya坐标轴原点yxyx(1，)2a2ba2b2题型分类示例例1D设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|11，根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2a10，所以|PF2|1或|PF2|21，而10)，即1，a2，b23，焦点坐标为(4,0)，(4,0)，c4，c2a2b24164，双曲线方程为1.(2)方法一双曲线1的渐近线方程为yx.当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)由题意得所求双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)由题意得此方程组无解综上可知，双曲线的标准方程为1.方法二设所求双曲线方程为(0)，双曲线经过点M(3,2)，
7、.故双曲线方程为，即1.例3B根据题意可得F1(c,0)，F2(c,0)，双曲线的渐近线为yx，直线PM的方程为y(xb)，联立，可得x，P(，)，(c，)，(c，)，PF1PF2，0，(c，)(c，)0，c20，b24a2，c25a2，e，故选B.例4C例52解析由题意可知，渐近线yx的倾斜角为60，则tan60，e2.例65解析因为F1PF2的三边长成等差数列，分别设为md，m，md.由双曲线定义，得m(md)2a，md2c.由勾股定理，得m2(md)2(md)2，解得m4d8a，c5a，所以离心率e5.考点专项训练1A双曲线两焦点的距离为4，c2，可得4(m2n)(3m2n)，解得m21
8、，方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，可得(n1)(3n)0，解得1n3，即n的取值范围是(1,3)2B双曲线15y2x215化为标准方程是y21，它的焦点坐标是(0，4)，焦距是2c8，离心率是e4；椭圆的标准方程是1，它的焦点坐标为(4,0)，焦距是2c8，离心率是e.所以，它们的焦距相同3C4D双曲线1，2a8，(5,0)，(5,0)是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，|PF1|PF2|8，点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(5,0)是15823或1587.5B由题意知，可设所求的双曲线方程是y2k，焦点(0,6)在y轴上，k0，b0)的焦距为2，c，双曲线的一条渐近线与
9、直线2xy0垂直，a2b.c2a2b2，a2，b1，双曲线的方程为y21.7A设|MF1|x，则|MF2|2ax，MF1与x轴垂直，(2ax)2x24c2，x.又sinMF2F1，3x2ax，xa，a，ab，ca，e.8C设以A(2,1)为中点的弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1x24，y1y22.又xy1，xy1，由，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又据对称性知x1x2，以A(2,1)为中点的弦所在直线的斜率k2，中点弦所在直线方程为y12(x2)，即y2x3.92x2y21101解析由已知|PF1|PF2|2a4，平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16.又|PF1|2|PF2|2|F1F2|220，|PF1|PF2|2.SF1PF2|PF1|PF2|1.11.解析设右焦点为F，由条件可得|MF|OF|cc2aca20e2e10e.由e1可得e.1226解析如图，由双曲线的定义可得将两式相加得|PF2|QF2|PQ|4a，F2PQ的周长为|PF2|QF2|PQ|4a|PQ|PQ|432726.