1、1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1知识点 因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式位置关系向量表达式 线线垂直设直线l1，l2的方向向
2、量分别为1，2，则l1l212120线面垂直设直线l的方向向量为，平面的法向量为n，则lnR，使得n 面面垂直设平面，的法向量分别为n1，n2，则n1n2n1n20思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交()(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()(4)若两平面，的法向量分别为1(1,0,1)，2(0,2,0)，则平面，互相垂直()提示(1)两条直线可能异面垂直(2)根据线面垂直的定义可知(3)也可
3、能平行(4)由120知12，从而.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 直线和直线垂直【例1】(对接教材P32例4)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点求证：EFBC证明 法一：(基底法)设BAa，BCb，BD c，则a，b，c为空间的一个基底 AEEC，DFFC，EFAD，且EF12AD，EF12AD 12BD BA 12(ca)又BCb，ABBCBD2，ABCDBC120，EFBC12(ca)b12(cbab)0，EFBC，EFBC法二：(坐标法)由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC
4、的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，1，3)，D(3，1,0)，C(0,2,0)，因而E0，12，32，F32，12，0，所以EF32，0，32，BC(0,2,0)，因此EFBC0.从而EFBC，所以EFBC用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤(1)基底法：选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；把两直线的方向向量用基底表示；利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直(2)坐标法：根据已知条件和图形特征，建立适
5、当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；计算两直线方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直跟进训练1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN14CC1.求证：AB1MN.证明 设AB的中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得A12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，M为BC的中点，M14，34，0.MN 14，34，14，AB1(
6、1,0,1)，MN AB1 140140.MN AB1，AB1MN.类型2 直线和平面垂直【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，垂足为A，ABAD，垂足为A，ACCD，垂足为C，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求证：AECD；(2)求证：PD平面ABE.证明线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量平行，若不求平面的法向量，可用什么方法证明线面垂直？解(1)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设PAABBC1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)因为ABC60，ABBC，所以ABC为正三角形 所以C12，32，0，E14，34，12.设
7、D(0，y,0)，由ACCD得ACCD 0，则y2 33，则D0，2 33，0，所以CD 12，36，0.又AE14，34，12，所以AECD 1214 36 34 0，所以AECD，即AECD(2)法一：由(1)知AB(1,0,0)，AE14，34，12，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则ABn0，AEn0，即x0，14x 34 y12z0，令y2，则n(0,2，3)又PD 0，2 33，1，显然PD 33 n，所以PD n，所以PD 平面ABE，即PD平面ABE.法二：由(1)知AE14，34，12，PD 0，2 33，1.又AEPD 34 2 33 12(1)0，所以PD A
8、E，即PDAE.由(1)知AB(1,0,0)，所以PD AB0，所以PDAB 又ABAEA，所以PD平面ABE.1坐标法证明线面垂直的两种方法 法一利用线线垂直：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.法二利用平面的法向量：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行 2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决跟进训练2.如图所示，在正方体ABCD-A1B
9、1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点求证：EF平面B1AC证明 法一：设ABa，AD c，AA1 b，则EFEB1 B1F 12(BB1 B1D1)12(AA1 BD)12(AA1 AD AB)12(abc)AB1 ABAA1 ab，EFAB1 12(abc)(ab)12(b2a2cacb)12(|b|2|a|200)0.EF AB1，即EFAB1.同理，EFB1C又AB1B1CB1，AB1，B1C平面B1AC，EF平面B1AC 法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，
10、B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)EF(1，1,1)，AB1(0,2,2)，AC(2,2,0)EF AB1(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120，EFAC(1，1,1)(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC，EFAB1，EFAC 又AB1ACA，AB1，AC平面B1AC，EF平面B1AC法三：由法二得AB1(0,2,2)，AC(2,2,0)，EF(1，1,1)设平面B1AC的法向量n(x，y，z)，则AB1 n0，ACn0，即2y2z0，2x2y0.取x1，则y1，z1，n(1,1，1)，EFn，EFn，EF平面B1AC类型3 平面和平面垂直【例3】如图所
11、示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C解 由题意得AB，BC，B1B两两垂直以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12，则AA1(0,0,1)，AC(2,2,0)，AC1(2,2,1)，AE2，0，12.法一：(利用平面的法向量)设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1，y1，z1)则n1AA1 0，n1AC0，z10，2x12y10.令x11，得y11.n1(1,1,0)设平面A
12、EC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则n2AC1 0，n2AE02x22y2z20，2x212z20，令z24，得x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面AEC1平面AA1C1C法二：(利用线面垂直)取AC1的中点D，连接ED(图略)则D1，1，12，ED(1,1,0)，ED AC1 0，ED AC0，EDAC1，EDAC，又AC1ACA，AC1，AC平面AA1C1C，ED平面AA1C1C，又ED平面AEC1，平面AEC1平面AA1C1C1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为
13、线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度跟进训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点求证：平面AED平面A1FD1.证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，DA D1A1(
14、2,0,0)，DE(2,2,1)，D1F(0,1，2)设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1)由n1DA x1，y1，z12，0，00，n1DE x1，y1，z12，2，10，得2x10，2x12y1z10.令y11，得n1(0,1，2)同理，平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1已知直线l1的方向向量a(1,2，2)，直线l2的方向向量b(2,3，m)若l1l2，则m()A1B2C12D3B 由于l1l2，所以ab，故ab262m0，即m2.2 1 3
15、4 5 2若平面，的法向量分别为a(2，1,0)，b(1，2,0)，则与的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直D无法确定B ab2x(1)(1)(2)0，ab，故选B3 1 2 4 5 3已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u(1，3，z)，向量 v(3，2,1)与平面 平行，则实数 z 等于()A3B6 C9D9C 由题意可得 uv，则 uv36z0，解得 z9.故选C4 1 2 3 5 4设直线 l 的方向向量 u(2,2，t)，平面 的一个法向量 v(6，6,12)，若直线 l平面，则实数 t_.4 由题意知 uv，26 26 t12.解得 t4.2 4 5 1
16、3 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2，AA1 3，AD22，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是_2 4 5 1 3 PMAM 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1，3)，A(2 2，0,0)，M(2，2,0)，2 4 5 1 3 所以PM(2，2,0)(0,1，3)(2，1，3)，AM(2，2,0)(2 2，0,0)(2，2,0)，所以PM AM(2，1，3)(2，2,0)0，所以PMAM.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)两直线垂直的向
17、量表达式是什么？提示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1l2u1u2u1u20.(2)直线和平面垂直的向量表达式是什么？提示 设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则lunR，使得un.(3)平面和平面垂直的向量表达式是什么？提示 设平面，的法向量分别为n1，n2，则 n1n2n1n20.(4)证明线面垂直有哪些方法？提示 基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直 坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直 坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
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