1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 空间点、线、面的位置关系基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线两点不在一条直线上一个基础诊断考点突破课堂总结(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平
2、面；推论2：经过两条直线有且只有一个平面；推论3：经过两条直线有且只有一个平面相交平行基础诊断考点突破课堂总结2空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类 共面直线异面直线：不同在一个平面内(2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：0，2.平行相交任何锐角(或直角)基础诊断考点突破课堂总结(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角同一条直线相等或互补基础诊断考点突破课堂总结3空间直线与平面、平面与平
3、面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有、三种情况(2)平面与平面的位置关系有、两种情况相交 平行在平面内平行相交基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)梯形可以确定一个平面(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面(3)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad.(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线()()()()基础诊断考点突破课堂总结2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平
4、行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾答案 C基础诊断考点突破课堂总结3下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1 C2 D3基础诊断考点突破课堂总结解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说明三个交点是否共线，不正确答案 C基础诊断考点突破课堂总结4(2014广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的
5、是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定基础诊断考点突破课堂总结解析 l1l2l2l3 l1l3l3l4 l1l4或 l1与 l4相交或 l1与 l4异面故l1 与 l4 的位置关系不确定，故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结5(2015海宁检测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为_基础诊断考点突破课堂总结解析 如图，连接 B1D1，D1C，B1C.由题意知 EF 是A1B1D1的中位线，所以 EFB1D1，又 A1BD1C，即B1D1C(或其补角)为异面直线 A1B 与 EF
6、 所成的角因为D1B1C 为正三角形，所以B1D1C3.故 A1B 与 EF 所成角的大小为3.答案 3 基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面基本性质的应用【例1】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点基础诊断考点突破课堂总结证明(1)连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面基础诊断考点突破课堂总结(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同
7、理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q
8、，R的截面图形是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形基础诊断考点突破课堂总结(2)如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，截面为六边形PQFGRE.基础诊断考点突破课堂总结(2)可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明
9、PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面答案(1)D(2)基础诊断考点突破课堂总结考点二 空间两条直线的位置关系【例2】(2015攀枝花模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由基础诊断考点突破课堂总结解(1)不是异面直线理由如下：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，基础诊断考点突破课堂总结MNA1C1.又A1A綉C1C，A1
10、ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线基础诊断考点突破课堂总结(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2015杭
11、州二中检测)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，基础诊断考点突破课堂总结GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014余姚模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行基础诊断考点突破课堂总结解析(1)把正四面体的平面展开图还原如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.
12、基础诊断考点突破课堂总结(2)如图，连接C1D，BD，AC，在C1DB中，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，故B正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.答案(1)(2)D基础诊断考点突破课堂总结考点三 求异面直线所成的角【例3】在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值基础诊断考点突破课堂总结解(1)在四棱锥
13、 PABCD 中，PO面 ABCD，PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角，即PBO60，BOABsin 301，POOB，POBOtan 60 3，底面菱形的面积 S2 3.四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD132 3 32.基础诊断考点突破课堂总结(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，E 为 PB 中点，EFPA，DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角)在 RtAOB 中，AOABcos 30 3OP，在 RtPOA 中，PA 6，EF 62.在正ABD 和正PDB 中，DFDE 3，基础诊断考点突破课堂总结cosDEFDE2EF2DF22DEEF 3262
14、2 322 3 62643 2 24.即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2014潍坊一模)已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M
15、，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为_深度思考 求异面直线所成的角常采用“平移直线法”，你是不是用的这种方法？但还可以有一种不错的方法：补形法.将该三椎锥放在长方体中，不妨试一试？基础诊断考点突破课堂总结解析 法一 如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PMAB，且 PM12AB，PNCD，且 PN12CD，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角则MPN60或MPN120，若MPN60，基础诊断考点突破课堂总结因为PMAB，所以PMN(或其补角)是AB与MN所成的角又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角
16、为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上直线AB和MN所成的角为60或30.基础诊断考点突破课堂总结法二 由ABCD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MNAA1，即BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角连接A1B1交AB于O，所以A1B1CD，即AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性质可得BAA160或30.所以直线AB和MN所成的角为60或30.答案 60或30基础诊断考点突破课堂总结微型专题 辅助线、辅助面的确定在
17、判定点、线、面的位置关系的过程中，往往需要作出辅助线、辅助面来帮助解题，确定符合要求的平面是关键基础诊断考点突破课堂总结【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条基础诊断考点突破课堂总结点拨 法一：可在EF线上找一点M，点M与A1D1确定平面，平面与CD交于点N，则MN为所求；法二：在A1D1上找一点P，则P与EF确定一个平面，下面同法一解析 法一 图1在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面(如图1)，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不
18、同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示故选D.基础诊断考点突破课堂总结法二 在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面(如图2)，因CD与平面不平行，图2所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案 D基础诊断考点突破课堂总结点评 许多学生不会在一条线上找一点，使这点与另一条线确定一个辅助平面，从而找不到解决问题的切口而失分，解决线与线的位置关系，常用的方法是将线纳入到平面中去解决.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1主要题型的解
19、题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上基础诊断考点突破课堂总结2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解基础诊断考点突破课堂总结易错防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是0，2.4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角