1、1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系(重点、难点)借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1知识点 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面
2、平行这是为什么呢？知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式位置关系向量表达式 线线平行设 1，2 分别是直线 l1，l2 的方向向量，则l1l212R，使得 12线面平行设 是直线 l 的方向向量，n 是平面 的法向量，l，则 lnn0 面面平行设 n1，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得 n1n2(1)设直线 l 的方向向量为，向量 a，b 是平面 内的两个不共线向量，若 l，则向量，a，b 有什么关系？(2)根据上述问题，试研究证明直线与平面平行的另一种方法提示(1)三向量共面，即 xayb.(2)若直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面，则直线与平面平行(1)若平面 外的
3、一条直线 l 的方向向量是 u(1,2，3)，平面 的法向量为 n(4，1，2)，则 l 与 的位置关系是_(2)若两个不同平面，的法向量分别为 u(1,2，1)，v(4，8,4)，则平面，的位置是_(1)l(2)(1)由 un(1)42(1)(3)(2)0 知，l.(2)由 v4u 知 uv，所以.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 直线和直线平行【例 1】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB3，AD4，AA12，点 M 在棱 BB1 上，且 BM2MB1，点 S 在 DD1 上，且 SD12SD，点 N，R 分别为 A1D1，BC 的中点求证：MNRS.证明
4、 法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M3，0，43，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23.则MN，RS分别为 MN，RS 的方向向量，所以MN 3，2，23，RS3，2，23，所以MN RS，所以MN RS，因为 MRS，所以 MNRS.法二：设ABa，AD b，AA1 c，则MN MB1 B1A1 A1N 13ca12b，RSRCCD DS12ba13c.所以MN RS，所以MN RS.又 RMN，所以 MNRS.1向量法证明直线平行的两种思路2坐标法证明线线平行的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；(2)求出直线的方向向量的坐标；(3)证明两个向
5、量共线；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证跟进训练1已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，求证：直线 BD1 与直线 CE 不平行证明 以 D 为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E0，12，1，所以BD1(1，1,1)，CE0，12，1.又因为 01121，所以BD1 与CE不平行 因为BD1 为直线 BD1 的一个方向向量，CE为直线 CE 的一个
6、方向向量，当 BD1CE 时，必有BD1 CE.由上可知直线 BD1 与直线 CE不平行类型 2 直线和平面平行【例 2】(对接教材 P30 例 3)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，PB 与底面成的角为 45，底面 ABCD 为直角梯形，ABCBAD90，PABC12AD1.问：在棱PD 上是否存在一点 E，使得 CE平面 PAB？若存在，求出 E 点的位置，若不存在，请说明理由在棱 PD 上是否存在点 E，可假设存在，从而PEPD，则 的取值范围是什么？解 分别以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图则 P(0,0,1)，C(1,1,0)，
7、D(0,2,0)，A(0,0,0)，从而AD(0,2,0)，CP(1，1,1)，PD(0,2，1)假设在棱 PD 上存在符合题意的点 E，则PEPD(01)，则PE(0,2，)，所以CECPPE(1,21,1)AD(0,2,0)是平面 PAB 的一个法向量 由 CE平面 PAB 可得CEAD，即CEAD 0，210，解得 12，即PE12PD.即存在点 E 为 PD 的中点时 CE平面 PAB证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且
8、直线不在平面内跟进训练2.如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 是 AC 的中点，求证：AB1平面 DBC1.证明 如图以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为 a(a0)，侧棱长为 b(b0)，则 A(0,0,0)，B32 a，a2，0，B132 a，a2，b，C1(0，a，b)，D0，a2，0，AB1 32 a，a2，b，BD 32 a，0，0，DC1 0，a2，b.设平面 DBC1 的法向量为 n(x，y，z)，则nBD 32 ax0，nDC1 a2ybz0，x0，z a2by.不妨令 y2b，则 n(0,2b，a)由于AB1 nabab0，因此AB1 n.又
9、 AB1平面 DBC1，AB1平面 DBC1.类型 3 平面与平面平行【例 3】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，试用向量的方法证明平面 ADE平面 B1C1F.证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所 以 FC1 (0,2,1)，DA (2,0,0)，AE(0,2,1)，C1B1(2,0,0)，设 n1(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1DA，n1AE，即n1DA 2x10，
10、n1AE2y1z10，得x10，z12y1.令 z12，则 y11，所以可取 n1(0，1,2)同理，设 n2(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量 由 n2FC1，n2C1B1，得n2FC1 2y2z20，n2C1B1 2x20，解得x20，z22y2.令 z22，得 y21，所以 n2(0，1,2)因为 n1n2，即 n1n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.证明面面平行问题可由以下方法去证明：转化为相应的线线平行或线面平行；分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用的是方法，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法.跟进训练3.在直四棱柱A
11、BCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，F是棱AB的中点试用向量的方法证明：平面AA1D1D平面FCC1.证明 因为AB4，BCCD2，F是棱AB的中点，所以BFBCCF，所以BCF为正三角形 因为ABCD为等腰梯形，AB4，BCCD2，所以BADABC60.取AF的中点M，连接DM，则DMAB，所以DMCD 以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(3，1,0)，F(3，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以DD1(0,0,2)，DA(3，1,0)，
12、CF(3，1,0)，CC1(0,0,2)，所以DD1 CC1，DA CF，所以DD1CC1，DACF，又DD1DAD，CC1CFC，DD1，DA平面AA1D1D，CC1，CF平面FCC1，所以平面AA1D1D平面FCC1.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(3，6,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1，l2相交但不垂直D不能确定A 因为 13 2626，所以ab.又直线l1，l2不重合，所以l1，l2平行2 1 3 4 5 2如果直线l的方向向量是a(2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面上，平面的法向量是b(2,0
13、,4)，那么()AlBlClDl与斜交2 1 3 4 5 B 直线l的方向向量是a(2,0,1)，平面的法向量是b(2,0,4)，ab4040，直线l在平面内或者与平面平行，又直线l上有一点P不在平面上，l.3 1 2 4 5 3若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是()An1(1,2,3)，n2(3,2,1)Bn1(1,2,2)，n2(2,2,1)Cn1(1,1,1)，n2(2,2,1)Dn1(1,1,1)，n2(2，2，2)D 因为平面，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合4 1 2 3 5 4已知线段AB的两端点坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)，则直线AB()A与坐标平面
14、Oxy平行B与坐标平面Oyz平行C与坐标平面Oxz平行D与坐标平面Oyz相交4 1 2 3 5 B 因为A(9，3,4)，B(9,2,1)，所以 AB(0,5，3)，而坐标平面Oyz的法向量为(1,0,0)，显然(0,5，3)(1,0,0)0，故直线AB与坐标平面Oyz平行2 4 5 1 3 5已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为1，12，2，则m_.8 设a(2，m,1)，b1，12，2.因为l，所以ab.于是ab212m20，则m8.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)两直线平行的向量表达式是什么？提示 设1，2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l212R，使得12.(2)直线和平面平行的向量表达式是什么？提示 设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，且l，则lnn0.(3)平面和平面平行的向量表达式是什么？提示 设n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n2.(4)证明线面平行有哪些方法？提示 证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!