1、第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 学 习 目 标核 心 素 养 1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式(重点)2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明(重点)3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用(难点、易混点)1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理素养.2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.自 主 预 习 探 新 知 1二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式 S2sin 2_ C2cos 2_ T2tan 22sin cos cos2sin22
2、tan 1tan22.余弦的二倍角公式的变形3正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos 12sin 2，cos .(2)1sin 2.sin 22sin(sin cos)2思考：用tan 能表示sin 2和cos 2吗？提示 可以sin 22sin cos 2tan 1tan2.cos 2cos2sin21tan21tan2.1.cos 12sin 12 cos 12sin 12()A 32 B12C.12D.32D 原式cos2 12sin2 12cos6 32.2sin 15cos 15.14 sin 15cos 15122sin 15cos 1512sin 3014.3.12cos28
3、.24 12cos281212cos28 12cos4 24.4若tan 2则tan 2.43 tan 2 2tan 1tan2 2212243.合 作 探 究 释 疑 难 给角求值【例1】(1)cos4 12sin4 12等于()A12 B 32C.12D.32(2)求下列各式的值12sin2750；2tan 1501tan2150；cos5cos25.(1)D 原式cos2 12sin2 12 cos2 12sin2 12 cos2 12sin2 12cos6 32.(2)解 原式cos(2750)cos 1 500 cos436060 cos 6012.原式tan(2150)tan 30
4、0tan(36060)tan 60 3.原式2sin5cos5cos252sin5 sin25 cos252sin5sin454sin5 sin54sin514.对于给角求值问题一般有两类：1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟进训练1求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2)1sin 503cos 50.解(1)cos 36cos 722sin 36
5、cos 36cos 722sin 362sin 72cos 724sin 36sin 1444sin 3614.(2)原式cos 50 3sin 50sin 50cos 50 212cos 50 32 sin 50122sin 50cos 50 2sin 8012sin 1002sin 8012sin 804.给值求值、求角问题 探究问题1公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？提示：主要变形有：1sin 2sin2cos22sin cos(sin cos)2，1cos 22cos2，cos21cos 22，sin21cos 22.2如何在倍角公式中用222(4)解题？
6、提示：(1)sin 2cos22 cos24 2cos24 112sin24；(2)cos 2xsin22 sin24 2sin4 cos4；(3)cos 2xsin22 sin24 2sin4 cos4.【例2】(1)已知2，2，且sin 2sin4，求.(2)已知sin4x 513，0 x4，求 cos 2xcos4x的值思路点拨：(1)22 22，用诱导公式联系求解(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解 解(1)sin 2cos22 2cos24 1 12cos24，sin4 sin4 cos24 cos4，原式可化为12cos24 cos4，解得cos4 1或cos4 12.2，2，44
7、，34，故40或423，即4或512.(2)0 x4，sin4x 513，4x0，4，cos4x 1213，cos 2xcos4xcos2xsin2x22 cos xsin x 2(cos xsin x)2cos4x 2413.1若本例(2)中的条件不变，则 sin 2xsin4x的值是什么？解 sin4x 22 cos x 22 sin x 513，平方得sin 2x119169，sin4x cos24x cos4x 1213，所以 sin 2xsin4x1191691312119156.2若本例(2)中的条件变为tan4x 512，其他条件不变，结果如何？解 因为tan4x 512，所以s
8、in4x 512cos4x，又sin24x cos24x 1，故可解得cos4x 1213，原式2cos4x 2413.解决条件求值问题的方法 1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.化简、证明问题【例 3】(1)化简：1tan 11tan 1.(2)证明：3tan 123sin 124cos21224 3.思路点拨：(1)通分变形(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦二倍角的正弦约分求值(1)tan 2 原式 tan 1tan 1tan 1tan
9、 1 2tan tan21 2tan 1tan2tan 2.(2)证明：左边3sin 123cos 12cos 122sin 122cos2121 2 312sin 12 32 cos 122sin 12cos 12cos 24 2 3sin1260sin 24cos 24 2 3sin 4812sin 48 4 3右边，所以原等式成立证明三角恒等式的原则与步骤 1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.2证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角”“异名化同
10、名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.跟进训练2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.证明(1)左边1cos2A2B21cos2A2B2 cos2A2Bcos2A2B2 12(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立(2)法一：左边cos21sin2cos2 cos2sin2cos 2右边 法二：右边cos 2cos2sin2 cos21sin2cos2 cos2(1tan2)左边.课 堂 小 结
11、 提 素 养 1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是 32 的二倍；2是4的二倍；3是6的二倍；2n是 2n1的二倍(nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：1cos 22cos2；cos21cos 22；1cos 22sin2；sin21cos 22.1下列说法错误的是()A6是3的倍角，3是32 的倍角B二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角C存在角，使得sin 22sin 成立D对任意角，总有tan 2 2tan 1tan2D A正确，中二倍角的正弦、余弦公式适用任意角，正切公式的适用
12、范围是，2k2(kZ)，故B对，D错；C中若k(kZ)时等式成立2若sin 3cos，则sin 2cos2.6 sin 2cos22sin cos cos22sin cos 6cos cos 6.3设sin 2sin，2，则tan 2的值是3 sin 2sin，2sin cos sin.由2，知sin 0，cos 12，23，tan 2tan43 tan3 3.4已知2，cos 45.(1)求tan 的值；(2)求sin 2cos 2的值解(1)因为cos 45，2，所以sin 35，所以tan sin cos 34.(2)因为sin 22sin cos 2425，cos 22cos21 725，所以sin 2cos 22425 7251725.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
