1、2.1.1合情推理第1课时归纳推理学习目标1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用知识点一推理思考案例1：由矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和，得出长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和案例2：由所有的金属若能导电，铜是金属得出铜能导电结合案例，想一想什么是推理？答案推理是从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程梳理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么知
2、识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理？答案属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2)归纳推理的思维过程大致如图(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工
3、具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题类型一数列中的归纳推理例1已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_答案解析f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x).引申探究在本例中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜
4、想fn(x)(nN*)的表达式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思与感悟在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；
5、当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn，nN*.类型二等式与不等式中的归纳推理例2(1)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_答案1解析等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为.(2)观察下列式子：1，1，1，猜想第n个不等式为_答案1解析第1个不等式：1，第2个不等式：1，第3个不等式：1，故猜想第n个不等式：11，等式x2；x23；x34；，可以推广为_答案xnn1解析不等式
6、左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，右边的数是2,3,4，利用此规律观察所给不等式，都是写成xnn1的形式，从而归纳出一般性结论：xnn1.(2)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；，照此规律，2222_.答案n(n1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.类型三图形中的归纳推理例3如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中顶点的个数为_答案(n2)(n3)解析由已知中的图形我们可以得到：当n1时，顶点共有1234(个)，当n2时，顶点共有2045(个)，当n3时，顶点共有3056(个)，当
7、n4时，顶点共有4267(个)，则第n个图形共有顶点(n2)(n3)个反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是_答案5n1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6(n1)55n1.1有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色两种彩旗排成一行：?，那么在前200个彩旗中黄旗的个
8、数为_答案67解析观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗则200922余2，则200个旗子中黄旗的个数为223167.2按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为_答案40解析图1中的点数为414，图2中的点数为824，图3中的点数为1234，图4中的点数为1644，所以图10中的点数为10440.3已知a11，a2，a3，a4，则数列an的一个通项公式an_.答案解析a1，a2，a3，a4，则an.4从112,23432,3456752中得出的一般性结论是_答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，nN*解析从三个等式观察知第n个等式的左
9、边有2n1个连续正整数，第一个数是n，最后一个是3n2.5将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n行(n3)从左向右数第3个数解前(n1)行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.1归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论(3)猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明课时作业一、填空题1如图所示的是一串白黑相间排列的
10、珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是_色答案白解析通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36351571，得第36颗珠子一定为白色2根据给出的数塔猜测12345697_.192111293111123941111123495111111234596111111答案1111111解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.3已知2，3，4，.若6(a，bR), 则a，b的值分别为_，_.答案635解析观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为该数的平方减1.4已知a13，a26，且an2an1an，则a33_.答案3解析a13
11、，a26，a33，a43，a56，a63，a73, 周期T6，a33a33.5根据三角恒等变换，可得如下等式：coscos，cos22cos21，cos34cos33cos，cos48cos48cos21，cos516cos520cos35cos.依此规律，猜想cos632cos6mcos4ncos21，其中mn_.答案30解析由所给一系列式子得，等式右边各系数与常数项之和为1，即32mn11，得mn30.6已知数列an满足条件(n1)an1(n1)ann1，且a26，设bnann(nN*)，则数列bn的通项公式bn_.答案2n2解析a11，a26，a315，a428，b12，b28，b318
12、，b432.可以通过求数列an的通项公式来求数列bn的通项公式我们发现a1111；a2623；a31535；a42847；，猜想ann(2n1)，进而猜想bn2n2nn2n2.7用火柴棒摆“金鱼”，如图所示按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_答案6n2解析从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.8已知f(1)1，f(2)3，f(3)4，f(4)7，f(5)11，则f(10)_.答案123解析由题意可得f(3)f(1)f(2)，f(4)f(2)f(3)，f
13、(5)f(3)f(4)，则f(6)f(4)f(5)18，f(7)f(5)f(6)29，f(8)f(6)f(7)47，f(9)f(7)f(8)76，f(10)f(8)f(9)123.9经计算发现下列不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.答案已知a，b为正实数，且ab，若ab20，则210观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n2(1)n1解析121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1
14、(12n)(1)n1.11定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是_答案(2)，(4)解析由已知图形，抓共性不难总结出：A“|”，B“”(大)，C“”，D“”(小)故A*D为(2)，A*C为(4)12设n2，nN，(2x)n(3x)na0a1xa2x2anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为Tn，则T20，T3，T40，T5，Tn，其中Tn_.答案Tn解析由T20，T40，猜想Tn0(n为偶数)T3，T5，猜想Tn(n为奇数)因此可得Tn二、解答题13已知sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125，si
15、n221sin281sin2141.通过观察上述等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明解猜想：sin2(60)sin2sin2(60).证明如下：sin2(60)sin2sin2(60)1cos(2120)(1cos 2)1cos(2120)(1cos 2cos 120sin 2sin 120)(1cos 2)(1cos 2cos 120sin 2sin 120)(32cos 2cos 120cos 2)32cos 2cos 2(3cos 2cos 2).三、探究与拓展14正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为_答案20052006解析第2006行的第一个数
16、为20062，第2005行的第2006列的数是以20062为首项，1为公差的等差数列的第2007项，该数为20062(1)200620052006.15设an是集合2t2s|0st，且s，tZ中所有的数从小到大排列成的数列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下图所示的三角形数表：35691012(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求a100.解(1)由题意，a1对应的有序数对(s，t)为(0,1)a2，a3对应的有序数对(s，t)分别为(0,2)，(1,2)；a4，a5，a6对应的有序数对(s，t)分别为(0,3)
17、，(1,3)，(2,3)，故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s，t)依次为(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)(4,5)故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表(0,1)(0,2)(1,2)(0,3)(1,3)(2,3)(0,4)(1,4)(2,4)(3,4)(0,5)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)可以归纳出行数与t相等，且各行中的项数与t相等，故前t行共有项，令100，得t13，当t13时，91.故a100位于第14行中第9个数故a100对应的有序数对(s，t)为(8,14)所以a10028214.