1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.认识柱、锥、台及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)；5.了解柱、锥、台的表面积和体积的计算公式基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1空间几何体的结
2、构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形基础诊断考点突破课堂总结旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.基础诊断考点突破课堂总结2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的，三视图包括、
3、正投影完全相同正视图侧视图俯视图基础诊断考点突破课堂总结3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴 的 夹角为 45(或 135)，z 轴 与 x 轴、y 轴所在 平面(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中变为斜二测垂直平行不变原来的一半基础诊断考点突破课堂总结4柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积体 积圆柱S 侧Vr2h圆锥S 侧V13Sh13r2h13r2 l2r2圆台S 侧(r1r2)lV13(S 上S 下 S上S下)h
4、13(r21r22r1r2)h 2rhShrl基础诊断考点突破课堂总结直棱柱S 侧V正棱锥S 侧12ChV13Sh正棱台S 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)hChSh基础诊断考点突破课堂总结5.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是(2)圆 柱、圆 锥、圆 台 的 侧 面 展 开 图 分 别是、；它们的表面积等于与底面面积之和各面面积之和矩形扇形扇环形侧面积基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥(3)正方体、圆锥各自的三视
5、图中，三视图均相同(4)圆柱的侧面展开图是矩形()()()()基础诊断考点突破课堂总结2.(2014新课标全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()基础诊断考点突破课堂总结A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.答案 B基础诊断考点突破课堂总结3(2014福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D1解析 由题意得圆柱的底面半径r1，母线l1.所以圆柱的侧面积S2rl2，故选A.答案 A基础诊断考
6、点突破课堂总结4(2014浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()基础诊断考点突破课堂总结A72 cm3B90 cm3C108 cm3D138 cm3解析 由三视图可知，该几何体是由一个长方体和一个直三棱柱构成的组合体，如图，其体积 VV 长方体V 三棱柱6431243390(cm3)，故选 B.答案 B基础诊断考点突破课堂总结5(2013江苏)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三 棱 柱 A1B1C1 ABC 的 体 积 为 V2，则 V1V2 _.基础诊断考点突破课堂总结解析 设三棱锥
7、FADE 的高为 h，则V1V213h12ADAEsinDAE2h122AD2AEsinDAE 124.答案 124基础诊断考点突破课堂总结考点一 空间几何体的结构特征【例1】(1)下列说法正确的是()A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 基础诊断考点突破课堂总结(2)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆
8、锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点基础诊断考点突破课堂总结(2)不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台
9、的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等答案(1)B(2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋转轴是哪条直线基础诊断考点突破课堂总结【训练1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析 认识
10、棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故都不准确，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确答案 基础诊断考点突破课堂总结考点二 空间几何体的三视图与直观图【例2】(1)(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()基础诊断考点突破课堂总结A和 B和 C和 D和基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长
11、棱的棱长为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0，2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选D.基础诊断考点突破课堂总结(2)由三视图可知该几何体的直观图如图所示，并由三视图的形状特征及数据，可推知 PA面 ABC，ABC 为等腰直角三角形，且 PA2，ABBC 2，AC2，则 ADDC1，且 BD1，易得 ABBC 2.所以最长的棱为 PC，PC PA2AC22 2.答案(1)D(2)2 2基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正
12、视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽即“长对正，宽相等，高平齐”(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2015济宁一模)点M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的()基础诊断考点突破课堂总结A B C D(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图
13、，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由正视图的定义可知；点A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为；同理可得侧视图为，俯视图为.基础诊断考点突破课堂总结(2)如图，在原图形 OABC 中，应有 OD2OD22 24 2(cm)，CDCD2 cm.OC OD2CD2 4 22226(cm)，OAOC，故四边形 OABC 是菱形答案(1)B(
14、2)C基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)(2013新课标全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014东北三校模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FCGD2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结解析(1)在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图，如图，设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(
15、0,1,1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于OABC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.(2)注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.答案(1)A(2)D基础诊断考点突破课堂总结考点三 空间几何体的表面积【例3】(1)(2014宁波高三质检)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8的矩形则该几何体的表面积是()基础诊断考点突破课堂总结A8 B208 2C16 D248 2(2)某三棱锥的三视图如图所示，该
16、三棱锥的表面积是()A.286 5B306 5C5612 5D6012 5基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为 2 2，由面积为 8 2，得长为 4，则该几何体的表面积为 S212222 24224208 2.(2)基础诊断考点突破课堂总结由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中 AE平面 BCD，CDBD，且 CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又 CDBD，CDAE，则 CD平面 ABD，故 CDAD，所以 AC 41且 SACD10.在 RtABE 中，AE4，BE2，故
17、AB2 5.基础诊断考点突破课堂总结在 RtBCD 中，BD5，CD4，故 SBCD10，且 BC 41.在ABD 中，AE4，BD5，故 SABD10.在ABC 中，AB2 5，BCAC 41，则 AB 边上的高 h6，故 SABC122 566 5.因此，该三棱锥的表面积为 S306 5.答案(1)B(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将
18、这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和基础诊断考点突破课堂总结【训练4】一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为_基础诊断考点突破课堂总结解析 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S1212122212(12)212(24)3112 3 3.答案 112 3 3基础诊断考点突破课堂总结考点四 空间几何体的体积【例 4】(1)(2014新课标全国卷)正三棱柱 ABCA1B1C1
19、 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1 的体积为()A3 B.32C1 D.32 基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233 B.476 C6 D7基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图，在正ABC 中，D 为 BC 中点，则有 AD 32 AB 3，又平面 BB1C1C平面 ABC，ADBC，AD平面 ABC，由面面垂直的性质定理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的底面 B1DC1 上的高VAB1DC113SB1DC1AD13122 3 31，故选 C.基础诊断
20、考点突破课堂总结(2)由三视图知这个多面体是正方体截去两个全等的三棱锥后剩余的部分，其直观图如图所示，结合题图中尺寸知，正方体的体积为 238，一个三棱锥的体积为131211116，因此多面体的体积为 8216233，故选 A.答案(1)C(2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解基础诊断考点突破
21、课堂总结【训练5】(1)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABCA1B1C1的体积为_(2)(2013新课标全国卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()基础诊断考点突破课堂总结A168 B88 C1616 D816基础诊断考点突破课堂总结解析(1)(补形法)将三棱柱补成四棱柱，如图所示记 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 d，则 d2.则 V 三棱柱12V 四棱柱12S 四边形 BCC1B1d12424.基础诊断考点突破课堂总结(2)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成其中长方体的长、宽、高分
22、别为 4,2,2，圆柱的底面半径为 2，高为 4.所以 V22412224168.故选 A.答案(1)4(2)A基础诊断考点突破课堂总结【训练6】(2014福建卷)如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积基础诊断考点突破课堂总结法一(1)证明 AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面 ABD，BD平面 ABD，CD平面 ABD.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由 AB平面 BCD，得 ABBD，ABBD1，SABD12.M 是 AD 的中点，SABM12SA
23、BD14.由(1)知，CD平面 ABD，三棱锥 C-ABM 的高 hCD1，因此三棱锥 A-MBC 的体积VA-MBCVC-ABM13SABMh 112.基础诊断考点突破课堂总结法二(1)证明 同法一(2)解 由 AB平面 BCD 知，平面 ABD平面 BCD，又平面 ABD平面 BCDBD，如图，过点 M 作 MNBD 交 BD 于点 N，则 MN平面 BCD，且 MN12AB12，又 CDBD，BDCD1，SBCD12.三棱锥 A-MBC 的体积VA-MBCVA-BCDVM-BCD13ABSBCD13MNSBCD 112.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，
24、计算问题往往转化到一个三角形中进行解决2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状基础诊断考点突破课堂总结易错防范1台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行2同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同3在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线基础诊断考点突破课堂总结4对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算5在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变，平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”