1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x4y110上,则此抛物线的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222x解析:令y0得x,所以 抛物线的焦点为F,即,所以 p11,所以 抛物线的方程是y222x.答案:C2方程(3m)y2(m1)x表示抛物线,其中m不能为()A1 B3C1或3 D1且3解析:由条件知解得m3且m1.答案:D3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2x1x3,则有()A|F
2、P1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|x1,|FP2|x2,|FP3|x3.因为2x2x1x3,所以2,即2|FP2|FP1|FP3|.答案:C4过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则的值为()A4 B4 Cp2 Dp2解析:法一(特例法):当直线垂直于x轴时,A,B,则4.法二:由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立,可得y1y2p2,则4.答案:B5过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准
3、线上的射影为A1、B1,则A1FB1等于()A90 B45 C60 D120解析:如图,由抛物线定义知|AA1|AF|,|BB1|BF|,所以AA1FAFA1,又AA1FA1FO,所以 AFA1A1FO,同理BFB1B1FO,于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.答案:A二、填空题6已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_解析:设抛物线C的方程为y2ax(a0),由可得或不妨令A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)是AB的中点,从而有a4,故所求抛物线C的方程为y24x.答案
4、:y24x7抛物线y24x与直线2xy40交于两点A与B,F为抛物线的焦点,则|FA|FB|_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|FB|x1x22.又x25x40,所以 x1x25,|FA|FB|x1x227.答案:78已知A(0,4),B(3,2),抛物线y2x上的点到直线AB的最短距离为_解析:由已知,得直线AB的方程为2xy40,设抛物线y2x上的任意一点P的坐标为(t,t2),则d.答案:三、解答题9已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36,求弦所在的直线方程解:因为过焦点的弦长为36,所以 弦所在的直线的斜率存在且不为零故可设弦所在直线的斜率为k,且与抛物线交于A(
5、x1,y1)、B(x2,y2)两点因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)所以 直线的方程为yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20(k0)所以 x1x2.所以 |AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36,所以 236,所以 k.所以 所求直线方程为y(x1)或y(x1)10正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上,求这个正三角形的边长解:如图所示:设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y2px1,y2px2.又因为|OA|OB|,所以 xyxy,即xx2px12px20,整理得(x1x2)(x1x
6、22p)0.因为x10,x20,2p0,所以 x1x2,由此可得|y1|y2|,即点A,B关于x轴对称由此得AOx30,所以 y1x1,与y2px1联立,解得y12p.所以 |AB|2y14p.B级能力提升1在同一平面直线坐标系中,方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致为()解析:将方程a2x2b2y21与axby20转化为1与y2x.因为ab0,所以0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左答案:D2设A,B是抛物线x24y上两点,O为原点,若|OA|OB|,且AOB的面积为16,则AOB等于_解析:由|OA|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称设A,B
7、,a0,SAOB2a16,解得a4.所以 AOB为等腰直角三角形,AOB90.答案:903已知抛物线y24x,过其焦点作弦AB,若弦长不超过8,且弦所在直线与椭圆3x22y22相交,试确定AB所在直线的斜率k的取值范围解:由题意,得焦点的坐标为F(1,0)因为过焦点的弦所在直线与椭圆3x22y22相交,所以此直线的斜率一定存在设过点F的直线方程为yk(x1)(k0)联立方程消去y,得k2x2(2k24)xk20.设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x21.因为|AB| 8,所以k21,即k1或k1.联立方程消去y,得(32k2)x24k2x2k220.因为直线与椭圆相交,所以8k2240,解得k.综上所述,1k或k1.