1、1.3.2 函数的极值与导数1掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求一些函数的极大值和极小值本节重点：函数极值的概念与求法本节难点：函数极值的求法1曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正，据此得到可导函数极值的概念对此概念的几点说明如下：(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义，是指在点x0及其左右邻域都有意义(2)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的(3)极值总是函数f(x)定义域的某个开区间内的点，因而端点绝不是函数的极值点(4)连续函数f(x)在其定义域上的极值点
2、可能不止一个，也可能没有函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小2求可导函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的全部实根；(4)检查f(x)在f(x)0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)3极值点与导数为0的点的关系：(1)导数为0的点不一定是极值点如函数f(x)x3在x0处的导数是0，但它不是极值点对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件 (2)函数的导数不存在的点也可能是极值点如函数f(x)|x|，在x
3、0处，左侧(x0时)f(x)10，右侧(x0时)f(x)10，当x0时f(x)0是f(x)的极小值点，但f(0)不存在1极值点与极值(1)极小值与极小值点(对可导函数)如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：f(a)f(x0)(f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值)；f(a)；在xa附近的左侧f(x)0，函数单调递；在xa附近的右侧f(x)0，函数单调递 0增(2)极大值与极大值点(对可导函数)如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：f(b)f(x0)(f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值)；f(b)；在xb附近的左侧，f(x)0，函数单调增；在xb附近的右侧，
4、f(x)0，函数单调 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质0f(x)(或f(0)0，当y0时，f(x)0，因此yx3在(，)上是增函数，因为单调函数没有极值，所以yx3在x0处取不到极值 点评(1)f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的必要条件而不是充分条件，如果再加上x0附近导数的符号相反，才能判定在xx0处取得极值(2)在区间上的单调函数是没有极值的，像这样的重点结论可记熟 判断函数y|axb|(a0)在其定义域内是否存在极值 例2 求下列函数的极值(1)yx27x6；(2)yx327x.分析求函数极值
5、需求f(x)0的解及f(x)，f(x)的变化情况 当x3时，y有极大值，且y极大值54.当x3时，y有极小值，且y极小值54.点评1.判断可导函数极值的基本方法：设函数yf(x)在点x0及其附近可导，且f(x0)0.(1)如果f(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)为函数f(x)的极大值(2)如果f(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0)为函数f(x)的极小值(3)如果f(x)的符号在点x0的左右不变号，则f(x0)不为函数f(x)的极值 2求可导函数极值的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的全部实根；(4)检查f(x)在方程f(x
6、)0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)总之，求可导函数的极值的核心是：解方程f(x)0；列表；模拟图象；确定极大值或极小值 求y4x3x22x的极值点和相应的极值 解析y12x22x22(6x2x1)2(3x1)(2x1)，例3已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值 分析本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f(x)0的两个根且在根x1处f(x)取值左右异号 解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是
7、f(x)5ax2(x21)(1)当a0时，x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)y000y极大值无极值极小值 点评 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键 函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值 10，则 a、b的值为()Aa3，b3，或a4，b11 Ba4，b1，或a4，b11 Ca1，b5 D以上都不正确 答案D 解析f(x)3x22axb x1是函数f(x)的极值点，且在x1处的极值为10，f(1)32ab0 f(1)1aba210 当a3，b3时 f(x)3x26x33(x1)2 当x1时，f(x)0 当x1时，f(x)0 当x1时函数
8、不存在极值 当a4，b11时符合题意，故应选D.例4求函数f(x)x33x22在(a1，a1)内的极值(a0)解析由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值 由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值 综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(
9、x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值 点评 判断函数极值点的注意事项(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)|x|在x0处不可导，但由图象结合极小值定义知f(x)|x|在x0处取极小值(4)在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，且极大值不一定比极小值大(5)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f(x)0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然(6)极值
10、情况较复杂时，注意分类讨论(1)当cos0时，判断函数f(x)是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数f(x)在区间(2a1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围 分析f(x)是否有极值，需研究是否存在x0点，使f(x0)0且在x0左、右f(x)的符号相反；求参变量范围注意其他条件 当x变化时，f(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：点评 本例主要考查了运用导数研究函数的单调性与极值，解不等式等基本知识，要注意分析题目，培养综合分析和解决问题的能力(2009陕西文，20)已知函数f(x)x33ax1，a0(1)求f
11、(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围 分析本小题主要考查函数、导数的应用等基础知识，考查分类整合思想、推理和运算能力 解析(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)一、选择题 1若函数yf(x)是
12、定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案B 解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点 2函数yx31的极大值是()A1B0 C2D不存在 答案D 解析y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值 3三次函数当x1时，有极大值4；当x3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29xByx36x29x Cyx36x29xDyx36x29x 答案B 解析适合题意的函数满足f(1)4，排除A、C、D.二、填空题 4若函数f(x
13、)x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_ 答案a0 解析f(x)3x2a由题设条件知f(x)0应有两个不同实数根，a0.5若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为_ 答案32 解析f(x)(xm)22x(xm)3x24mxm2(xm)(3xm)三、解答题 6求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)x2ex.解析(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：从表中可以看出，当x2时，函数有极大值16.当x2时，函数有极小值16.x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值f(2)16极小值f(2)16(2)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2