1、第一讲 不等式和绝对值不等式11 不 等 式11.2 基本不等式学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接利用基本不等式求函数的值域或最值(1)若x0，求f(x)4x的最小值(2)设x0，y0且2xy1，则的最小值是_；分析：函数解析式在形式上已经基本符合了基本不等式的形式，但还应注意适用前提学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)因为 x0，所以由基本不等式得 f(x)4x16x 24x16x 2 6416.当且仅当 4x16x，即 x2 时，“”成立 学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)运用“乘 1 法”1x2y1x2y 11x2y(2xy)44xy yx424
2、xy yx8，当且仅当4xy yx时，等号成立又2xy1，x14，y12，当 x14，y12时，1x2y取最小值 8.点评：使用基本不等式求最值时，一定要验证三个条件：“一正”“二定”“三相”等，缺一不可学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1设x0，y0，x21，则x 的最大值为_1分析：x21是常数，x2与的积可能有最大值 可把x放到根号里面去考虑，即化为，注意到x2与1y2的积，应处理成2x2.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：解法一 x0，y0，x2y221，x 1y2 x2（1y2）2x21y22 2x21y222 2x2y221223 24，当且仅当 x21y22，即 x 3
3、2，y 22 时，x 1y2取得最大值3 24.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二 令 xcos，y 2sin 02，则 x1y2cos 12sin2 2cos2（12sin2）12 122cos2（12sin2）223 24.当 2cos212sin2，即 6 时，也即 x 32，y 22 时，x 1y2取得最大值3 24.答案：3 24学习目标预习导学典例精析栏目链接利用基本不等式证明不等式 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.分析：本题的结论是关于a，b，c的轮换对称式(a，b，c在不等式中的作用相等，交换其中任意两个的位置，结论
4、仍成立)，只需侧重证明a(b2c2)2abc，其他按“同理”的格式书写即可学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：b2c22bc，a0，a(b2c2)2abc，同理，b(c2a2)2abc，c(a2b2)2abc.a，b，c 不全相等，式中至少有一个式子不能取等号 a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.学习目标预习导学典例精析栏目链接2 证 明：(1 1x)(1 1y)（x1）（y1）xy（2xy）（2yx）xy 5xy2（x2y2）xy 5 2（x2y2）xy 5 22xyxy9.当且仅当 xy12时取等号(11x)(11y)9.学习目标预习导学典例精析栏目链接利用基本不等式解应
5、用题 某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，其使用规定为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元(1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？(2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：弄清题意，理解总费用由买游泳卡所需费用及包车费两项组成 解析：设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元(1)每批去 x 同学，共需去488x批，总开支又分为：买卡所需费用 240 x 元，包车所需车费用488x40 元 所以 y240
6、x488x40(0 x48，xZ)因为 y240 xx64x 2402x64x 3 840，当且仅当 x64x，即 x8 时，等号成立 学习目标预习导学典例精析栏目链接所以每人至少应交3 84048 80(元)(2)每批去 x 名同学，共需去484x批，总开支又分为：买卡所需费用 240 x 元，包车所需费用484x40 元 所以 y240 x484x40(0 x48，xZ)，即 y240 x32x 2402x32x 1 920 2.当且仅当 x32x，即 x4 2时，等号成立 学习目标预习导学典例精析栏目链接由 0 x48，54 26，xZ)可知，当 x15 时，y12405325 2 73
7、6；当 x26 时，y22406326 2 720.因为 y1y2，所以当 x26 时，y 有最小值，ymin2 720.故每人至少应交2 72048 56.67(元)学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)，最后利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围的制约学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练3(2014福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米
8、20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80 元 B120 元 C160 元 D240 元学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1m得另一边长为4xm.记容器的总造价为 y 元，则 y4202x4x 110 8020 x4x 80202x4x160，当且仅当 x4x，即 x2 时等号成立 因此，当 x2 时，y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为160 元，故选 C.答案：C学习目标预习导学典例精析栏目链接 求函数 y x25x24的最小值【错解】因为 yx241x24 x241x242，所以 ymin2.分析：没有考虑等号成立的条件，实际上由x241x24得x2 3，无实数解故等号成立的条件不具备，因而 y2.学习目标预习导学典例精析栏目链接【正解】yx241x24，令 t x24，则 yf(t)t1t，t2，)易证 f(t)t1t在2，)上为增函数，所以 yminf(2)21252，此时 x0.所以当 x0 时，ymin52.学习目标预习导学典例精析栏目链接易错点 变量的范围导致等号成立的条件不具备【易错点辨析】遇到形如“x”的题，盲目运用“x2”，而忽略了x的范围，从而出错见到此类问题应考虑变量的范围，看是否具备等号成立的条件，从而选择合理的方法解题