1、第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为
2、周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.常用结论与微点提醒1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).(4
3、)若f(xa)f(x)c，则T2a(a0，c为常数).4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.()(4)若函数f(x)满足关系f(a
4、x)f(bx)，则函数f(x)的图象关于点对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案B3.(老教材必修4P46A1
5、0改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_.解析由题意得，ff421.答案14.(2020济南一中月考)已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析由题意，得b0，且2a(a1)，解得a，则ab.答案B5.(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()A.ex1 B.ex1C.ex1 D.ex1解析由题意知，当x0时，f(x)f(x)(ex1)ex1.答案D6.(2020衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x2)f(x)，当x0，1时，f(x)e
6、x1，则f(2 017)f(2 018)_.解析由f(x2)f(x)可知，函数f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，f(2 017)f(2 018)f(2 0161)f(0)f(1)f(0)f(1)f(0)e1.答案e1考点一函数的奇偶性及其应用多维探究角度1函数奇偶性的判断【例11】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)log2(x).解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(
7、x)2xx2xf(x)；当x0时，x0且a1)，则函数f(x)的奇偶性()A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关(2)(角度2)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析(1)f(x)bbf(x)，所以f(x)一定不是偶函数；设f(x)为奇函数，则由奇函数的定义知f(x)f(x)0.即bb2b22b0，解得b1，即当b1时，f(x)为奇函数，当b1时，f(x)为非奇非偶函数，所以f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关.(2)由于f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得2ax3x0(xR)，则2a3
8、0，解得a.答案(1)D(2)考点二函数的周期性及其应用【例2】 (1)已知函数f(x)对任意xR，都有f(x2)f(x)，当x(0，)时，f(x)2sin ，则f()A. B. C.1 D.(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x(1，4时，f(x)3x1，则f(1)f(2)f(3)f(100)_.解析(1)因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2.所以ffff，又因为当x(0，)时，f(x)2sin ，所以f2sin 1.(2)由题意，得f(1)f(4)11，f(2)5，f(3)8.故f(1)f(2)f(3)24，所以f(1)f(2)f(3)f(100)33f(
9、1)f(2)f(3)f(3331)803.答案(1)C(2)803规律方法1.注意周期性的常见表达式的应用.2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).【训练2】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 020)_.(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.解析(1)由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)f(4).又f(2)2，所以f(4)2.故f(2
10、 020)2.(2)因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.答案(1)2(2)7考点三函数性质的综合运用多维探究角度1函数的单调性与奇偶性【例31】 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bcf(2x1)成立的x的取值范围为_.解析(1)易知g(x)xf(x)在R上为偶函
11、数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数.又3log25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.(2)由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|).当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增.由f(|x|)f(|2x1|，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得xf(x2)的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变
12、成常规不等式，如x1x2)求解.角度2函数的奇偶性与周期性【例32】 (1)(2020德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则f(2 023)()A.20192 B.1 C.0 D.1(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A.(1，4) B.(2，0)C.(1，0) D.(1，2)解析(1)根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 023)f(12 024)f(1)，又函数yf(x)为奇函数，且x0，1时，
13、f(x)x2，则f(1)f(1)1，故f(2 023)1.(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.f(5)f(1)f(1)1.从而1，解得1a4.答案(1)D(2)A规律方法1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【训练3】 (1)(角度1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2)，则x的取
14、值范围是()A.(0，e2) B.(e2，)C.(e2，) D.(e2，e2)(2)(角度2)已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_.解析(1)根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(ln x)f(2)|ln x|2，即2ln x2，解得e2x3的解集为()A.(，2)(2，) B.(，4)(4，)C.(2，2) D.(4，4)解析由题意，f(0)log22b0，解得b1.所以f(x)log2(x2)x1，f(2)3，且在R上单调递增，又|f(x)|3，所以|f(x)|f(2)，即f(x)f(2)或f(x)2或x1，即m1时，f(m2
15、)f(x1)f(3x)，则有m23x对x1，0恒成立，则1m1，由以上知，实数m的取值范围是3，1.答案A【例4】 函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_.解析因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 021)f(50541)f(1)4，所以f(2 020)f(2 022)f(2 020)f(2 020
16、2)f(2 020)f(2 020)f(2 020)f(2 020)0，所以f(2 020)f(2 021)f(2 022)4.答案4A级基础巩固一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y|log3x| B.yx3C.ye|x| D.ycos |x|解析对于A选项，函数定义域是(0，)，故是非奇非偶函数，显然B项中，yx3是奇函数.对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x(0，)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D选项，ycos |x|在(0，1)上单调递减.答案C2.(2020咸阳模拟)已知函数f(x)为奇函数，则a()A.1 B.1
17、 C.0 D.1解析由题意，得f(x)f(x)，则f(1)f(1)，即1aa1，得a1(经检验符合题意).答案A3.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0xf(3) B.f(2)f(5)C.f(3)f(5) D.f(3)f(6)解析yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)，因此yf(x)的图象关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5).又yf(x)在(4，)上为减函数，f(5)f(6)，所以f(3)f(6).答案D5.定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)log(1x)，则f(x)在区间内是()A.减函数且f(x)0 B.减函数且f(x)0 D.增函
18、数且f(x)0.又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0时，f(x)ln x，则f的值为_.解析由已知可得fln 2，所以ff(2).又f(x)是奇函数，所以ff(2)f(2)ln 2.答案ln 27.奇函数f(x)在区间3，6上是增函数，且在区间3，6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为_.解析由于f(x)在3，6上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1，因为f(x)为奇函数，所以f(3)f(3)1，所以f(6)f(3)819.答案98.若函数f(x
19、)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范围是_.解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f，由f(ln t)f2f(1)，得f(ln t)f(1).又函数f(x)在区间0，)上是单调递增的，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.答案 三、解答题9.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x).于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.
20、(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，3.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有ff成立.(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值.(1)证明由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期.(2)解因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)
21、202.(3)解因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立.于是2ax0恒成立，所以a0.B级能力提升11.(2020泉州质检)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)2xcos x，则下列结论正确的是()A.fff(2 018)B.f(2 018)ffC.f(2 018)ffD.fff(2 018)解析f(x)是奇函数，f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x)，则f(x)的周期为4.因此f(2 018)f
22、(2)f(0)，ff，ffff，又x0，1时，f(x)2xcos x单调递增，f(0)ff，故f(2 018)f0，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 023)_.解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，则函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)f(50641)f(1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)f(1)f(1).当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.答案114.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的
23、图象与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.C级创新猜想15.(开放多填题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)
24、，已知当x0，1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；当x0，1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确；由知，f(x)在0，2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201且f(x)是周期为2的周期函数，f(x)的最大值是2，最小值是1，故错误.答案
