1、学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1(2015全国卷)若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_【解析】画出可行域(如图所示)z3xy，y3xz.直线y3xz在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值由解得B(1,1)，zmax3114.【答案】42若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_【解析】画出可行域，如图所示，由解得A(2,2)，设z2xy，把z2xy变形为y2xz，则直线经过点A时z取得最小值，所以zmin2(2)26.【答案】63给出平面区域如图338所示，若使目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则
2、a的值为_图338【解析】由于直线yaxz的斜率a0，因此，要使zaxy取最大值的最优解有无穷多个，这些解必在线段AC上a，即a.【答案】4若实数x，y满足则的取值范围是_. 【导学号：91730064】【解析】可看作可行域中的点与原点构成直线的斜率，结合图形可解，kOA.【答案】5某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_【解析】设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z1
3、 600x2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800.【答案】36 8006设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d0时，最大值在点C处取得，此时124k4，即k2；当k0(舍)或k20(舍)，故k2.【答案】2二、解答题9已知实数x，y满足约束条件(aR)，目标函数zx3y只有当时取得最大值，求a的取值范围【解】直线xay10过定点(1,0)，画出区域让直线xay10绕着(1,0)旋转得到不等式所表示的平面区域平移直线x3y0，观察图象知必须使
4、直线xay10的斜率0才满足要求，故a0.10某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得即目标函数为z3 000x2 000y.作出可行域如图所示：作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，由图可知
5、当l过点M时，目标函数z取得最大值由得M(100,200)zmax3 0001002 000200700 000(元)答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元能力提升1已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于_【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分，由目标函数z2xy的几何意义为直线l：y2xz在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，2a)时，目标函数z2xy的最小值为1，则22a1，a.【答案】2(2014浙江高考)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】
6、作可行域如图所示，设zaxy，若a0，平移可知不成立，故a0，解得B(2,1)，解得A(1,0)，由a101得a1，由a214得a，a.【答案】3已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为_【解析】由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时， z最大，将点(，2)代入zxy得z的最大值为4.【答案】44在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值【解】(1)法一0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，解得即(2,2)，故|2.法二0，则()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n,2mn)，两式相减得，mnyx，令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.