1、考纲要求：1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与平面 内的直线都垂直，就说直线l 与平面 互相垂直任意(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直a、babOlalbl两条相交直线文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线ab ab平行2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面
2、互相垂直直二面角(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直ll 垂直文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直 l alal交线自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线 a，b，c：若 ab，bc，则 ac.()(2)直线 l 与平面 内无数条直线都垂直，则 l.()(3)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，若mn，m，则 n.()(4)设 l 为直线，是两个不同的平面，若，l，则l.()(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直
3、于另一个平面()(6)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2如图 P 为ABC 所在平面外一点PAPB，PBPC，PCPA，PH平面 ABC 于 H，则 H 是ABC 的_心答案：垂3.如图，PAO 所在平面，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面 PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面 PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确；AEPC，AEBC，PB平面 PBCAEPB，AFPB，EF平面 AEFEFPB，故正确；AFPB，若 AFBCAF平面 PBC
4、，则 AFAE 与已知矛盾，故错误；由可知正确答案：4PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于 PD平面 ABCD，故平面 PAD平面 ABCD，平面 PDB平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，平面 PDA平面 PDC，平面 PAC平面 PDB，平面 PAB平面 PAD,平面PBC平面 PDC，共 7 对答案：7典题 1 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是 PC 的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.听前试做(1)在四棱锥 P-
5、ABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，PAAB.又ABAD 且 PAADA，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面 ABE.(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线
6、垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直(2016深圳模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB平面 ABCD.(1)若 AC6，BD8，PB3，求三棱锥 A-PBC 的体积；(2)若点 E 是 DP 的中点，证明：BD平面 ACE.解：(1)四边形 ABCD 为菱形，BD 与 AC 相互垂直平分，底面 ABCD 的面积 S 菱形 ABCD126824，SABC12S 菱形 ABCD12.又 PB平面 ABCD，且 PB3，三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBCVP-
7、ABC13PBSABC12.(2)如图，设 BD 与 AC 相交于点 O，连接 OE，O 为 BD 的中点，E 是 DP 的中点，OEPB.又 PB平面 ABCD，OE平面 ABCD.BD平面 ABCD，OEBD，由(1)知 ACBD，又 ACOEO，BD平面 ACE.典题 2 如图，四棱锥 P-ABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点求证：(1)CE平面 PAD；(2)平面 EFG平面 EMN.听前试做(1)法一：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，EH12AB.又
8、 ABCD，CD12AB，所以 EHCD，EHCD，因此四边形 DCEH 是平行四边形所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD，所以 CE平面 PAD.法二：连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF12AB.又 CD12AB，所以 AFCD.又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形因此 CFAD.又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面
9、PAD.(2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 ABPA，所以 ABEF.同理可证 ABFG.又 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD.又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.探究 1 在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC.证明：因为 ABPA，ABAC，且 PAACA，所以 AB平面 PAC.又 MNCD，CDAB，所以 MNAB，所以 MN平面 PAC.又 MN平面 EMN，所以平面 EMN平面 PA
10、C.探究 2 在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC.证明：因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点，所以 EFPA，FGAC，又 EF平面 PAC，PA平面 PAC，所以 EF平面 PAC.同理，FG平面 PAC.又 EFFGF，所以平面 EFG平面 PAC.(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2015北京高考)如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC 2，O，M 分
11、别为 AB，VA 的中点(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 V-ABC 的体积解：(1)证明：因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB.又因为 VB平面 MOC，OM平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)证明：因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB.又 OC平面 MOC，所以平面 MOC平面 VAB.(3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC 2，所以 AB2，OC1.所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB 3.又因为 OC平面
12、VAB，所以三棱锥 C-VAB 的体积等于13OCSVAB 33.又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等，所以三棱锥 V-ABC 的体积为 33.典题 3 如图，在三棱台 ABC-DEF 中，CF平面 DEF，ABBC.(1)设平面 ACE平面 DEFa，求证：DFa；(2)若 EFCF2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面DFG平面 CDE？若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由听前试做(1)证明：在三棱台 ABC-DEF 中，ACDF，AC平面 ACE，DF平面 ACE，DF平面 ACE.又DF 平面 DEF，平面 ACE平面 DEFa，
13、DFa.(2)线段 BE 上存在点 G，且 BG13BE，使得平面 DFG平面CDE.证明如下：取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G，连接 GD，CFEF，GFCE.在三棱台 ABC-DEF 中，ABBCDEEF.由 CF平面 DEFCFDE.又 CFEFF，DE平面 CBEF，DEGF.GFCEGFDECEDEEGF平面 CDE.又 GF 平面 DFG，平面 DFG平面 CDE.此时，如平面图所示，O 为 CE 的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证 HOC FOE，HBBC12EF.由 HGB FGE 可知BGGE12，即 BG13BE.同“平行关系中的探索性问题
14、”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明(2016郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABC-ABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点 M，N 分别为 AB 和 BC的中点(1)证明：MN平面 AACC；(2)设 ABAA，当 为何值时，CN平面 AMN，试证明你的结论解：(1)证明：如图，取 AB的中点 E，连接 ME，NE.因为 M，N 分别为 AB 和 BC的中点，所以 NEAC，MEAA.又 AC平面 AACC，AA平面 AACC，所以 ME平面 AACC，NE平面 AACC，所以平面 MNE平面 AACC，因为 MN平面 MNE，所
15、以 MN平面 AACC.(2)连接 BN，设 AAa，则 ABAAa，由题意知 BC 2a，CNBNa2122a2，因为三棱柱 ABC-ABC的侧棱垂直于底面，所以平面 ABC平面 BBCC，因为 ABAC，点 N 是 BC的中点，所以 AN平面 BBCC，所以 CNAN，要使 CN平面 AMN，只需 CNBN 即可，所以 CN2BN2BC2，即 2a2122a2 22a2，解得 2，故当 2时，CN平面 AMN.方法技巧1三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理；利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；利用面面垂直的性质(3)判定面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.易错防范在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交
