1、23 直线的参数方程学习目标预习导学典例精析栏目链接1了解直线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程2举例说明某些直线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性 学习目标预习导学典例精析栏目链接题型一 直线的参数方程及其理解 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 1 已知直线 l 过点 Mo(1，3)，倾斜角为3，判断方程x112t，y3 32 t(t 为参数)和方程x1t，y3 3t(t 为参数)是否为直线 l 的参数方程如果是直线 l 的参数方程，那么请指出是参数方程中的哪种形式，并指出方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数的几何意义分析：判断直线的参数方程是否为标准
2、形式，主要看能否满足 a2b21，且 a，b 所对应的 是否满足是直线的倾斜角学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：因为以上两个方程消去参数后，均可以得到直线 l 的普通方程为 3xy 330，所以以上两个方程都是直线 l 的参数方程，其中 x112t，y3 32 tcos 12，sin 32，t为参数 是标准形式，参数 t 的绝对值是有向线段MoM 的长度，而方程x1t，y3 3t(t 为参数)是非标准形式，参数 t 不具有上述几何意义 学习目标预习导学典例精析栏目链接 例 2 设直线的参数方程为x53t，y104t.(1)求直线的普通方程；(2)化参数方程为标准形式 解析：(1)由 y10
3、4t，得 t10y4，代入 x53t，得 x5310y4.化简得普通方程为 4x3y500.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)把方程变形为x53t535（5t），y1045（5t）.令 cos 35，sin 45.u5t，则参数方程的标准形式为：x535u，y1045u.学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 已知直线 l 的方程为 3x4y10，点 P(1，1)在直线 l上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和点 N(2，6)的距离分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾斜角(设为)的正切值为34，tan 34，则 sin 35，cos 45.因为点 P
4、在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定点，到点 M和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式来求学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：由直线方程 3x4y10 可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为，则 tan 34，sin 35，cos 45.又点 P(1，1)在直线 l 上，所以直线 l 的参数方程为x145t，y135t(t 为参数)因为 354410，学习目标预习导学典例精析栏目链接所以点 M 在直线 l 上 由 145t5，得 t5，即点 P 到点 M 的距离为 5.因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN|（
5、12）2（16）2 34.所以点 P 到点 N 的距离为 34.学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1化直线的参数方程x13t，y3 6t(t 为参数)为参数方程的标准形式点拨：只需把 t 的系数作变换，使其满足 a2b21.解析：由x13t，y3 6t 得：x1332（6）232（6）2t，y3632（6）2（32（6）2t）学习目标预习导学典例精析栏目链接令 t32（6）2t，得到直线 l 的参数方程的标准形式为：x1 155 t，y3 105 t(t为参数学习目标预习导学典例精析栏目链接2直线过点 A(1，3)，且与向量(2，4)共线(1)写出该直线的参数方程；(2)求点 P(2，1
6、)到此直线的距离分析：已知直线与向量(2，4)共线，可知直线的斜率 k42.解析：(1)由题意知直线的点斜式方程为 y342(x1)设 y342(x1)t，则x1t2，y3t.所以该直线的参数方程为x1t2，y3t.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)解法一 如下图所示，在直线上任取一点M(x，y)，则|PM|2(x2)2(y1)2 1t22 2(3t1)2 54t25t2554(t2)220.当 t2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线的距离，则|PM|202 5.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二 由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如上图所示，它对应参数
7、t2，代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标：x2，y1，即垂足 P0(2，1)，显然有|PP0|（22）2（11）22 5.题型二 直线参数方程的应用 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 4 一直线过点 P0(3，4)，倾斜角 a4，求此直线与直线 3x2y6 的交点 M 与 P0 之间的距离分析：如果用一般方法来解，那么先要确定直线的方程，再通过解方程组确定交点 M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出|MP0|.而利用直线的参数方程，无需求出交点的坐标，由参数的几何意义可直接求得|MP0|.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：设直线的参数方程为x3 22 t，y4 22 t(t 为参数
8、)，将它代入已知直线 3x2y60 得 33 22 t 24 22 t 6，解得 t11 25，则|MP0|t|11 25.学习目标预习导学典例精析栏目链接例 5 过点 P102，0 作倾斜角为 的直线与曲线 x22y21 交于点 M、N，求|PM|PN|的最小值及相应的 值解析：设直线方程为x 102 tcos，ytsin(t 为参数)，代入 x22y21，得(1sin2)t2 10tcos 320.学习目标预习导学典例精析栏目链接则|PM|PN|t1t2|32（1sin2）.又直线与曲线相交，则10cos2432(1sin2)0.得 sin214.而当 sin 12(0)，即 6 或 56
9、 时，|PM|PN|有最小值65.学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练3已知直线 l 过点 P(3，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值为最小时的直线 l 的方程解析：设直线 l 的倾斜角为，则 l 的参数方程为 x3tcos，y2tsin(t 为参数)，由题意知，A(xA，0)，B(0，yB)学习目标预习导学典例精析栏目链接02tsin，即|PA|t|2sin，03tcos，即|PB|t|3cos.故|PA|PB|2sin 3cos 12sin 2.2，当 232，即 34 时，|PA|PB|有最小值，此时直线 l的方程为x3 22 t，y2
10、22 t(t 为参数)学习目标预习导学典例精析栏目链接析 疑 难 提 能 力 学习目标预习导学典例精析栏目链接 例求直线x2t，y 3t(t 为参数)被双曲线 x2y21 所截得的弦长|AB|.错解：把x2t，y 3t代入 x2y21 得：2t24t30.由根与系数的关系得 t1t22，t1t232.由 t 的几何意义得：|AB|t1t2|（t1t2）24t1t2 10.学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：在解题时应先看直线的参数方程是否为标准形式，若不是，应先化为标准形式，然后才能利用 t 的几何意义 正解：把x2t，y 3t化为标准形式，得x212t，y 32 t(t2t，t为参数)，代入 x2y21，整理得 t24t60，由根与系数的关系得 t1t24，t1t26.学习目标预习导学典例精析栏目链接由 t的几何意义得|AB|t1t2|（t1t2）24t1t22 10.易错点：忽略t具有几何意义的前提条件【易错点解析】t 具有几何意义前提条件是直线的参数方程为标准形式