1、高考资源网（） 您身边的高考专家第1节直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，).2.直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值
2、tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_.(2)计算公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率k.若直线的方向向量为a(x，y)(x0)，则直线的斜率k.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线常用结论与微点提醒1.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：000不存在k02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值
3、，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角1135，245时，12，但其对应斜率k11，k21，k1k2.(2)当直线斜率为tan(45)时，其倾斜角为135.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(
4、老教材必修2P89B5改编)若过两点A(m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为_.解析由题意得12，解得m2，A(2，6)，直线AB的方程为y612(x2)，整理得12xy180.答案12xy1803.(老教材必修2P101B2改编)若方程AxByC0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是_.解析由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A0且B0.答案A0且B04.(2020西安调研)直线xy10的倾斜角为()A.30 B.45 C.120 D.150解析由题意得，直线yx1的斜率为1，设其倾斜角为，则tan 1，又0180，故45.答案B5.(2
5、020昆明诊断)已知直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，) B.C. D.解析直线l的斜率k1m2，因为mR，所以k(，1，所以直线的倾斜角的取值范围是.答案B6.(2020合肥调研)过点(3，4)，在x轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为_.解析由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为1，又直线过点(3，4)，从而1，解得a4或a9(舍).故所求直线的方程为4xy160.答案4xy160考点一直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为
6、端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.解析法一设PA与PB的倾斜角分别为，直线PA的斜率是kAP1，直线PB的斜率是kBP，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范围为1，).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是(，.故斜率的取值范围是(，1，).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(k1)(k)0，解得k1或k.即直线l的斜率k的取值范围是(，1，).答案(，1，)【迁移1】 若将例1中P(1，0)改为P(1
7、，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(3k1)(k)0，解得k.即直线l的斜率的取值范围是.【迁移2】 若将例1中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.解由例1知直线l的方程kxyk0，A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(2k1k)0，即(k1)(k1)0，解得1k1.即直线l倾斜角的取值范围是.规律方法1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正
8、切函数ytan x在上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2.答案D考点二直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角的正弦值为；(2)(一题多解)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l1：xy2，l2：2xy1的交点
9、，且直线的一个方向向量v(3，2).解(1)由题可知sin ，则tan ，直线l经过点P(1，2)，直线l的方程为y2(x1)，即y(x1)2，整理得4x3y20或4x3y100.(2)法一当截距为0时，直线l过点(0，0)，(2，3)，则直线l的斜率为k，因此，直线l的方程为yx，即3x2y0.当截距不为0时，可设直线l的方程为1.因为直线l过点P(2，3)，所以1，所以a5.所以直线l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为3x2y0或xy50.法二由题意可知所求直线斜率存在，则可设y3k(x2)，且k0.令x0，得y2k3.令y0，得x2.于是2k32，解得k或k1.则直线l的方程为y
10、3(x2)或y3(x2)，即直线l的方程为3x2y0或xy50.(3)联立得x1，y1，直线过点(1，1)，直线的方向向量v(3，2)，直线的斜率k.则直线的方程为y1(x1)，即2x3y50.规律方法1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程；(2)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.解(1)由题意可知，所求直线的斜率为
11、1.又过点(3，4)，由点斜式得y4(x3).所求直线的方程为xy10或xy70.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.考点三直线方程的综合应用多维探究角度1直线过定点问题【例31】 已知kR，写出以下动直线所过的定点坐标：(1)若直线方程为ykx3，则直线过定点_；(2)若直线方程为ykx3k，则直线过定点_；(3)若直线方程为xky3，则直线过定点_.解析(1)当x0时，y3，所以直线过定点(0，3
12、).(2)直线方程可化为yk(x3)，故直线过定点(3，0).(3)当y0时，x3，所以直线过定点(3，0).答案(1)(0，3)(2)(3，0)(3)(3，0)规律方法1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例32】 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2a，直
13、线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4，又0a0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.A级基础巩固一、选择题1.(2020安阳模拟)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a()A.1或0 B.或0C. D.或0解析由题意知kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.答案A2.(2020广东七校联考)若过点P(1a
14、，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A.(2，1) B.(1，2)C.(，0) D.(，2)(1，)解析由题意知0，即0，解得2a0，b0时，a0，b0，结合选项知B符合，其他均不符合.答案B4.(2020成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是()A.x2 B.y1C.x1 D.y2解析直线yx1的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x2.答案A5.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.yx2 B.yx2C.yx D.
15、yx2解析因为直线x2y40的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为yx2.答案A6.(2020湖北四地七校联考)已知函数f(x)asin xbcos x(a0，b0)，若ff，则直线axbyc0的倾斜角为()A. B. C. D.解析由ff知函数f(x)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，所以ab，由直线axbyc0知其斜率k1，所以直线的倾斜角为，故选D.答案D7.直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A.0，) B.C. D.解析设直线的倾斜角为，则有tan sin .又sin 1，1，0，)，所以0或0，即(a1)(a)0，所以a1，又知直线l的斜率ka，即k
16、0，bc0，bc0C.ab0 D.ab0，bc0，bc0.答案A15.已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和Sn，则直线1与坐标轴所围成的三角形的面积为_.解析由an可知an，所以Sn1，又知Sn，所以1，所以n9.所以直线方程为1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为10945.答案4516.(2020豫北名校调研)直线l过点P(6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，当ABO的面积最小时，直线l的方程为_.解析设直线l的方程为y4k(x6)(k0)，则A，B(0，46k)，由题意知k0，则SABO|OA|OB|(46k)2418k，k0，0，18k224，当且仅当18k，即k2，也即k时取得等号，所以ABO的面积的最小值为48，此时直线l的方程为y4(x6)，即2x3y240.答案2x3y240C级创新猜想17.(多填题)设点A(2，3)，B(3，2)，已知直线l的方程为axy20，则直线l过定点_，若直线l与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是_.解析直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，kMA，kMB，结合题意可知a，且a，a.答案(0，2)- 16 - 版权所有高考资源网
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