1、章末分层突破自我校对正角、负角和零角弧长扇形面积正弦余弦正切任意角的三角函数概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(1)任意角和弧度制理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算(2)任意角的三角函数掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域(1)已知角的终边过点P(4m,3m)(m0)，则2sin cos 的值是_(2)函数y的定义域是_【精彩点拨】(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负(2)利用三角函数线求解【规范解答】(1)r|OP|5|m|.当m0时，sin ，cos ，2sin
2、 cos .当m0时，sin ，cos ，2sin cos .故2sin cos 的值是或.(2)由得如图，结合三角函数线知：解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.【答案】(1)或(2)再练一题1若是第四象限角，试判断sin(cos )cos(sin )的符号【解】为第四象限角，0cos 1，1sin 0.sin(cos )0，cos(sin )0.sin(cos )cos(sin )0.同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角
3、函数化为弦，再化简变形(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式已知cos m，|m|1，求sin 、tan 的值【精彩点拨】以角的终边所在位置为依据分别讨论求解【规范解答】(1)当m0时，2k，kZ；当2k时，sin 1，tan 不存在；当2k时，sin 1，tan 不存在(2)当m1时，2k，kZ，sin tan 0.当m1时，2k，kZ，sin tan 0.(3)当在第一、二象限时，sin ，tan
4、.(4)当在第三、四象限时，sin ，tan .再练一题2已知1，则sin23sin cos 2cos2的值是_【解析】由已知得1，即tan 1，于是sin23sin cos 2cos23.【答案】3三角函数的图象与性质三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求：(1)用“五点法”作yAsin(x)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令x0，2.(2)对于yAsin(x)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)已知函数图象求函
5、数yAsin(x)(A0，0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法已知函数f(x)2sina，a为常数(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若x时，f(x)的最小值为2，求a的值【精彩点拨】【规范解答】(1)f(x)2sina，所以f(x)的最小正周期T.(2)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(3)当x时，2x，所以x0时，f(x)取得最小值，即2sina2，故a1.再练一题3如图11所示的是函数yAsin(x)k(A0，0)的部分图象图11(1)求此函数的解析式；(2)分析该函数的图象是如何通过ysin x的
6、图象变换得来的【解】(1)由图象知，A，k1，T2，2，ysin(2x)1.当x时，2，所求函数的解析式为ysin1.(2)把ysin x的图象向左平移个单位，得到ysin的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到ysin的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到ysin的图象，最后把函数ysin2x的图象向下平移1个单位，得到ysin1的图象数形结合思想数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是
7、典型的“以数助形”的解题策略已知函数f(x)Asin(x)，xR在一个周期内的简图如图12所示，求函数g(x)f(x)lg x零点的个数图12【精彩点拨】【规范解答】显然A2.由图象过(0,1)点，则f(0)1，即sin ，又|，则.又是图象上的点，则f0，即sin0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点2，2，因此所求函数的解析式为f(x)2sin.在同一坐标系中作函数y2sin和函数ylg x的示意图如图所示：f(x)的最大值为2，令lg x2，得x100，令k100(kZ)，得k30(kZ)，而31100，在区间(0,100内有31个形如(kZ,0k30)的区间，在每个区间
8、上yf(x)与ylg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有23162个交点，另外在上还有1个交点，方程f(x)lg x0共有实根63个，函数g(x)f(x)lg x共有63个零点再练一题4若集合M，N，求MN.【解】首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y的图象，如图.结合图象得集合M，N分别为：M，N.得MN.1(2016全国卷改编)若tan ，则cos22sin 2_.【解析】因为tan ，则cos22sin 2.【答案】2(2014大纲全国卷改编)已知角的终边经过点(4,3)，则cos _.【解析】因为角的终边经过点(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .【答案】3(2016
9、全国卷改编)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为_【解析】将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin 22sin的图象由2xkx(kZ)，得x(kZ)，即平移后图象的对称轴为x(kZ)【答案】x(kZ)4(2015福建高考改编)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于_【解析】方法一：因为为第四象限的角，故cos ，所以tan .方法二：因为是第四象限角，且sin ，所以可在的终边上取一点P(12，5)，则tan .【答案】5(2015全国卷改编)函数f(x)cos(x)的部分图象如图13所示，则f(x)的单调递减区间为_图13
10、【解析】由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.【答案】，kZ6(2016江苏高考)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_【解析】(方法一)函数ysin 2x的最小正周期为，ycos x的最小正周期为2，在同一坐标系内画出两个函数在0,3上的图象，如图所示通过观察图象可知，在区间0,3上两个函数图象的交点个数是7.(方法二)联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2xcos x解的个数方程可化为2sin xcos xcos x，即co
11、s x(2sin x1)0，cos x0或sin x.当cos x0时，xk，kZ，x0,3，x，共3个；当sin x时，x0,3，x，共4个综上，方程组在0,3上有7个解，故两曲线在0,3上有7个交点【答案】77(2014江苏高考)已知函数ycos x与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_【解析】由题意，得sincos，因为0，所以.【答案】章末综合测评(一)三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1若sin 0且tan 0，则是第_象限角【解析】sin 0，tan 0，是第三象限角【答
12、案】三2已知圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积是_【解析】15化为弧度为，设扇形的弧长为l，则l6，其面积SlR6.【答案】3cos 675_.【解析】cos 675cos(675720)cos(45)cos 45.【答案】4把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的的值是_【解析】2，与是终边相同的角，且此时是最小的【答案】5角，的终边关于x轴对称，若30，则_.【解析】画出图形，可知的终边与的终边相同，故30k360，kZ.【答案】30k360，kZ6(2016南通高一检测)函数ycos，x的值域是_【解析】由0x，得x，cos.【答案】7设是第二象限角，则等于_【解析】因
13、为是第二象限角，所以1.【答案】18(2014重庆高考)将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysin x的图象，则f_.【解析】将ysin x的图象向左平移个单位长度可得ysin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得ysin的图象，故f(x)sin.所以fsinsin .【答案】9(2016如皋高一检测)若3sin cos 0，则的值为_【解析】由3sin cos 0，得tan ，.【答案】10(2016南京高一检测)已知点P(tan ，sin cos )在第一象限，且02，则角的取值范围是_【解析】点P在第一象限，由知
14、0或，由知sin cos .作出三角函数线知，在0,2内满足sin cos 的.由，得.【答案】11(2016苏州高一检测)已知函数f(x)2sin(x)(0)的图象如图1所示，则f_.图1【解析】由图象知T，T，A2，又T，3，将点代入y2sin(3x)得：sin0，取，f(x)2sin，f2sin2sin 0.【答案】012化简：_.【解析】原式cos 20sin 20.【答案】cos 20sin 2013.如图2为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yAsin(x)2，则_，A_.图2【解析】由
15、题意知，半径即是振幅，A3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T15 s，所以.【答案】314(2016泰州高一检测)关于函数f(x)2sin3x，有下列命题：其最小正周期为；其图象由y2sin 3x向左平移个单位而得到；其表达式可以写成f(x)2cos；在x为单调递增函数则其中真命题为_(需写出所有真命题的序号)【解析】由f(x)2sin得T，故正确y2sin 3x向左平移个单位得y2sin3x，故不正确由f(x)2sin2sin2sin2sin2cos，故正确由2k3x2k(kZ)得kxk(kZ)，f(x)2sin的单调递增区间为(kZ)当k0时，增区间为，故正确【答案】二、解答题(本大题共
16、6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(1)已知角的终边经过点P(4，3)，求2sin cos 的值；(2)已知角终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为34，求2sin cos 的值【解】(1)r5，sin ，cos ，2sin cos .(2)当点P在第一象限时，sin ，cos ，2sin cos 2；当点P在第二象限时，sin ，cos ，2sin cos ；当点P在第三象限时，sin ，cos ，2sin cos 2；当点P在第四象限时，sin ，cos ，2sin cos .16(本小题满分14分)已知sin(3)2cos(4)(1)求
17、的值；(2)求sin22sin cos cos22的值【解】由已知，得sin(3)2cos(4)，sin()2cos()，sin 2cos .cos 0，tan 2.(1)原式.(2)原式222.17(本小题满分14分)已知函数f(x)3sin.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；图3(2)写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间【解】(1)列表如下：x02xsin010103sin03030描点画图如图所示(2)由上图可知：值域为3,3，周期为2，对称轴为，单调增区间为(kZ)，单调减区间为(kZ)18(本小题满分16分)(2016天津十二区联考二)函数f(x)cos(x)的
18、部分图象如图4所示图4(1)求及图中x0的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值【解】(1)由题图得f(0)，所以cos ，因为0，故.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1x02.故x0，由f(x0)得cos，所以x0，解得x0.(2)因为fcoscossin x，所以g(x)f(x)fcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin xcos xsin xsin.当x时，x，所以sin1，故x，即x时，g(x)取得最大值；当x，即x时，g(x)取得最小值.19(本小题满分16分)(2016宿迁高一检测)已知函
19、数yasinb在x上的值域为5,1，求a，b的值【解】由题意知a0.x，2x，sin.当a0时，解得当a0时，解得综上，a4，b3或a4，b1.20(本小题满分16分)(2016南通高一检测)已知函数f(x)Asin(x)B的一系列对应值如下表：xy1131113 (1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数yf(kx)(k0)的周期为，当x时，方程f(kx)m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围【解】(1)设f(x)的最小正周期为T，得T2.由T，得1.又解得令2k，kZ，即2k，kZ，即2k，kZ.又|，解得，f(x)2sin1.(2)函数yf(kx)2sin1的周期为，又k0，k3.令t3x，x，t.如图，sin ts在上有两个不同的解的条件是s，方程f(kx)m在x时，恰有两个不同的解的条件是m，即实数m的取值范围是1,3).