1、二次根式基本定义及其应用一、二次根式的定义一般地，我们把形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义。注意：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、二次根式的判定二次根式必具备条件含有二次根号如：不是二次根式；是二次根式；不是二次根式；特别注意是二次根式。被开方数大于等于0三、二次根式有意义的条件1. 单独的二次根式：被开方数大于等于0，如，等；2. 含有分母的二次根式：被开方数大于等于0，分母不等于0，二者要综合考虑，如：；3. 二次根
2、式永远有意义：被开方数为完全平方加正数，如。总结：1. 二次根式与分式、函数结合讨论未知数有意义的问题为中考必考内容；2. 所有的二次根式计算至最后都要化成最简二次根式。例题1 已知，y，且x、y均为整数，求xy的值。解析：先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到xy的值。答案：由题意知：20x30，又因为x，y均为整数，所以x20，30x均需是一个整数的平方，因而x只可以取21或29，当x21时，y4，xy的值为25；当x29时，y4，xy的值为33。故xy的值为25或33。点拨：考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x、y均为整数，得到x20，30x均需是一个整数
3、的平方。例题2 已知点P（x，y）在函数y的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限解析：因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0。从而可以得到x0，由x20，可以得到0，y0，即可求出点P所在的象限。答案：，x0；又x0，0，即y0P应在平面直角坐标系中的第二象限。故选B。点拨：考查了分式和二次根式有意义的条件，难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号。估算二次根式的值根据提示的方法估算二次根式的大概取值。例题 阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值。小明的方
4、法：，设3k（0k1）。（）2（3k）2。1396kk2。1396k，解得k。3 3.67。问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若aa1，且ma2b，则 （用含a、b的代数式表示）；（3）请用（2）中的结论估算的近似值。解析：（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出6k（0k1），再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；（3）把a换成6，b换成1代入公式进行计算即可得解。答案：（1），设6k（0k1），（）2（6k）2，413612kk2，413612k。解
5、得k，660.426.42；（2）设ak（0k1），ma22akk2a22ak，ma2b，a22aka2b，解得k，a；（3），依据（2）中结论，66.08。求最值问题利用因式分解及二次根式的定义，被开方数是非负数，求最值。例题 若是整数，则整数k的最小正整数值为 。解析：设，则k2a22008，（ka）（ka）2008，即ka与ka是2008的因数，确定2008的因数，即可求得k，a的值，即可确定k的整数值。答案：设，则k2a22008，（ka）（ka）2008120082100445028251分别求出k值， 则或或或。解得：（舍去），或或（舍去）。则k的最小正整数值是：253。故答案是：
6、253。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（）A. 3 B. 5 C. 15 D. 252. 下列说法错误的是（）A. 零和负数没有算术平方根 B. 是一个非负数，也是二次根式C. 的最小值是4 D. 的值一定是0*3. 下列根式中最简二次根式的个数有：2，（）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个*4. 若实数x使代数式有意义，则x的取值范围是 （ ）x1且x2。A. x1 B. x1 C. x1且x2D. x1且x2*5. 观察下列各式：2；3；4；依此类推，则第四个式子是哪个？用n（n2）的等式表达你所观察得到的规律应是（ ）。A.
7、、 B. 、n C. 、nD. 、n二、填空题：*6. 已知化简后的二次根式 与 是同类二次根式，则xy_。*7. 已知y4，n是整数，则正整数n的最小值与xy的平方根的积为 。*8. 用下面“逐步逼近”的方法可以求出的近似值。先阅读，再答题：因为22732，所以23。第一步：取2.5，由2.526.257得2.53。第二步：取2.75，由2.7527.56257得2.52.75请你继续上面的步骤，写出第三步，并通过第三步的结论，对十分位上的数字作一估计 。*9. 求和S 。三、解答题：*10. 如果y 1，求2xy的值。*11. 已知：2|c249|，求实数a、b、c的值。*12. 已知|2
8、009a|a，求的值。（1）由式子可以得出a的取值范围是什么？（2）由（1），你能将等式|2009a|a中的绝对值去掉吗？（3）由（2），你能求出a20092的值吗？（4）讨论总结：求的值。1. C 解析：3，若是整数，则也是整数；n的最小正整数值是15；故选C。2. A 解析：A. 零的算术平方根是0，负数没有平方根，故错误；B. a2b2是非负数，所以是一个非负数，也是二次根式，故正确；C. x21616，当x0时，有最小值是4，故正确；D. （x1）20，有意义的情况下它的值一定是0，故正确。故选A。3. B 解析：22|x|；5xy；|；它们都不是最简二次根式；因此符合最简二次根式条件
9、的有：、，共3个；故选B。4. D 解析：使代数式有意义，实数x应满足条件x10，|x2|40，解得x1且x2，故选D。5. C 解析：第四个式子是5；用n（n2）的等式表达你所观察得到的规律应是n。故选C。6. 2 解析：根据题意，得，即，由2，解得，x1，；把代入，解得，y1，xy2；故答案是2。7. 解析：根据题意，x10且1x0，解得x1且x1，所以x1，所以y4，又24n0，n是整数，n的最小值是6，xy141，正整数n的最小值与xy的平方根的积为，故填：。8. 6或7 解析：取2.625，由2.62526.8906257得2.6252.75；所以十分位上的数字可能是6或7。9. 1
10、2 解析：由（）112（），所以S102（1）102（1）12。 10. 解：根据二次根式有意义的条件可得x240，4x20，解得：x2，则y1，当时，2xy2215，当时，2xy2（2）13，2xy的值为5或3。11. 解：a50，且102a0，a5，|c249|0，则3ab0，c2490，即15b0，c2490，解得b15，c7。综上所述，实数a、b、c的值分别为5，15，7。12. 解：（1）根据二次根式有意义的条件可得a20100，解得a2010。（2）原式a2009a，即2009。（3）2009，a201020092，a200922010。（4）a20092152010152025，故45。