1、常见的新定义数列问题近年高考中，常常出现新定义数列的考题题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题一、等和数列【例1】 （2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为 ，且这个数列的前项和的值为 【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨设是等和数列，公和为，则由等和数列的定义知，数列的各项依次为即为奇数；为偶数为奇数；为偶数【解析】 因为，公和为，所以，
2、二、等积数列【例2】 （2005保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积若数列是等积数列，且，公积为，则（ ）ABCD【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨设是等积数列，公积为，则由等积数列的定义知，数列的各项依次为为奇数；为偶数即【解析】 由可得：，又因为，公积为，所以，故选C三、等方比数列【例3】 （2007湖北）若数列满足，（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲
3、既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即，即数列公比不一定为，则命题乙不成立，故选B四、绝对差数列【例4】 （2006北京）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前项）；若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义【解析】 ，（答案不唯一）；在“绝对差数列”中，因为，所以自第项开始，即每个相邻的项周期地取
4、值，所以当时，的极限不存在，而当时，所以证明 根据定义，数列必在有限项后出现零项证明如下：假设中没有零项，由于，所以对任意的，都有，从而当时，当时，即的值要么比至少小，要么比至少小；令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在，这与矛盾所以必有零项若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，第三个相邻的项周期地取值，即，所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项五、对称数列【例5】 （2007上海）若有穷数列，（是正整数），满足，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”已知数列是项数为的对称数列，且成等差数列，试写出的每一项；已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的
5、前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前项和【解析】 设的公差为，则，解得，所以数列为 ，所以当时，取得最大值的最大值为所有可能的“对称数列”是：；对于，当时，当时，对于，当时，当时，对于，当时，当时，对于，当时，当时，六、一阶差分数列【例6】 （2007青岛质检）对于数列，定义为数列的“一阶差分数列”，其中若数列的通项公式，求的通项公式；若数列的首项是，且，证明数列为等差数列；求的前项和【解析】 依题意，所以因为，所以，即，所以，又因为，所以是以为首项，为公差的等差数列；由得：所以所以错位相减得：七、周期数列【例7】 在数列中，如果存在非零常数，使得对任意正整数均成立，那么就称为“周期数列”，其中叫做数列的周期已知数列满足，如果，当数列周期为时，则该数列的前项的和为（ ）ABCD【解析】 由题知，所以或，因为，所以，即得：，即数列自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，而，所以，选D