1、高考资源网() 您身边的高考专家课时作业(五十四)一、选择题1(09辽宁)如果把地球看成一个球体,则地球上北纬60纬线长和赤道线长的比值为()A0.8B0.75C0.5 D0.25答案C解析设地球半径为R,北纬60纬线圈半径为r,rRcos60R,周长比值(2)(2R)120.5.2四面体ABCD的外接球球心在CD上,且CD2,AB,在外接球球面上两点A、B间的球面距离是()A. B.C. D.答案C解析设四面体ABCD的外接球球心是O,则有OAOBCD1,又AB,cosAOB,AOB,因此在外接球面上两点A、B间的球面距离是,选C.3如图,A、B、C是表面积为48的球面上三点,AB2,BC4
2、,ABC60,O为球心,则直线OA与截面ABC所成的角是()AarcsinBarccosCarcsinDarccos答案D解析本题考查球的性质设球的半径为R,O为截面圆的圆心,则OO平面ABC.连结AO,则OAO即为所求由题可知.4R248R2.在ABC中,B60,AB2,BC4,易证ABC为直角三角形且CAB90,则BC过O点AOBC2.cosOAOOAOarccos.故选D.4表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为()A. B.C. D.答案A解析考查立体几何图形的表面积、体积问题若令球的半径为r时,通过图形的几何特征易得,正八面体的边长为r,所以正八面体的表面积为
3、82r2sin602.从而球的体积为r3.故选A.5表面积为100的球面上有A、B、C三点,如果AB4,ACB60,则球心O到平面ABC的距离为()A1 B2C3 D4答案C解析设球的半径为R,所以4R2100,R5,设过A、B、C三点的截面圆的半径为r,由正弦定理得,r4,则球心O到平面ABC的距离d3.选择C.6已知A、B、C是球面上三个点,满足ACB90,AC1,BC,若球心O到平面ABC的距离为,则球O的表面积是()A2 B3C4 D5答案D解析本题主要考查球的截面性质2:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有关系r;以及球的表面积公式的应用由题知,AB,即r,R,再由球的表面
4、积公式,得S4R25.7(2010全国卷,理)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若ABCD2,则四面体ABCD的体积的最大值为()A. B.C2 D.答案B解析设球心为O,如图,过O、C、D三点作球的截面,交AB于点M,由条件知,OAB、OCD均为边长为2的等边三角形,设M到CD的距离为h,A到面MCD的距离为h1,B到面MCD的距离为h2,则VABCDVAMCDVBMCDSMCD(h1h2)CDh(h1h2),因此,当AB面MCD时,VABCD22(11)最大,故选B.二、填空题8(2010全国卷,理)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB4
5、.若OMON3,则两圆圆心的距离MN_.答案3解析如图,设圆M与圆N的半径分别为r1,r2由题知r1r2,设AB的中点为C,MON,易求得MCNC,在平面四边形OMCN中,由余弦定理有MN2OM2ON22OMONcos ,MN2CM2CN22CMCNcos ,由得3232233cos ()2()22cos ,解得cos ,所以MN23232232cos 18189,故MN3.9(2010江西卷,文)长方体ABCDA1B1C1D1的顶点均在同一个球面上,ABAA11,BC,则A,B两点间的球面距离为_答案解析设球的半径为R,由题知球的直径等于长方体的体对角线长,即2R2,所以R1,设O为球的球心
6、,ABO是边长为1的正三角形,故A、B两点间的球面距离为1.10已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为_答案2411半径为R的球的内接正四棱柱的侧面积的最大值为_答案4R2解析设内接正四棱柱的底面边长为x,高为h.则2x2h24R2又S侧4xhxh4R2.12(2010辽宁卷,文)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA平面ABC,ABBC,SAAB1,BC,则球O的表面积等于_答案4解析如图,以SA,AB,BC为棱长构造长方体,得体对角线长为2R,所以R1,S4R24.三、解答题13如图所示,四棱锥ABCDE中,AD底面BCDE,ACBC、AEBE.(1)求证:ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上;(2)若CBE90,CE,AD1,求B、D两点间的球面距离解析(1)AD底面BCDE,ADBC、ADBE.又ACBC,AEBE,BCCD,BEED.B、C、D、E四点共圆,即BD为此圆的直径取BD的中点M,AB的中点N,连结MN,则MNAD.MN底面BCDE,即N的射影是圆的圆心M,有AMBMCMDMEM,五点共球且直径为AB.(2)若CBE90,则底面四边形BCDE是一个矩形,连结DN.CE,AD1,BD,MN.RBN1,BNM,BND.B、D两点间的球面距离是l|R.- 5 - 版权所有高考资源网