1、章末分层突破 自我校对导数的运算函数的和、差、积、商的导数单调性极大值与极小值最大值与最小值_导数的几何意义及其应用利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程(1)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_
2、(2)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图11所示，则该函数的图象是_(填序号)图11【精彩点拨】(1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论【规范解答】(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大中，在x0时变化率最小，故错误；中，变化率是越来越大的，故错误；中，变化率是越来越小的，故错误；正确【答案】(1)2(2)再练一题1已
3、知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程【解】(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设
4、切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02.切点为(2,4)或.斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想这部分内容要注意的是f(x)为增函数f(x)0且f(x)0的根有有限个，f(x)为减函数f(x)0且f(x)0的根有有限个已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值
5、范围；若不存在，请说明理由【精彩点拨】研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决因为涉及参数a，所以要分类讨论【规范解答】(1)由已知，得f(x)3x2a.因为f(x)在(，)上单调递增，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为当a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上单调递增，所以a0.故实数a的取值范围是a0.(2)由f(x)3x2a0在(1,1)内恒成立，得a3x2在x(1,1)内恒成立因为1x1，所以3x23，所以只需a3.因为当a3时，f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上单调递减，所
6、以a3.故存在实数a3，使f(x)在(1,1)内单调递减再练一题2设函数f(x)aln x(a0)，讨论函数f(x)的单调性【解】函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.因为x10，所以，x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2
7、)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增导数在求函数极值与最值中的应用由函数的解析式能求出函数的极值和最值，反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大
8、值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围【精彩点拨】(1)由求出a，b即可(2)对t分0t2与2t3两种情况求最值(3)构造函数g(x)f(x)c转化为g(x)在1,3上有实根求解【规范解答】(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)
9、最大值f(0)2，f(x)最小值f(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2单调递减极小值2单调递增t33t22f(x)最小值f(2)2，f(x)最大值为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)最大值f(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.再练一题3已知函数f(x)x312xm.(1)若xR，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)若
10、函数yf(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x1,3时，f(x)的最小值为2，求f(x)的最大值【解】(1)f(x)3x212.当f(x)0时，x2或x2.当f(x)0时，2x2.当f(x)0时，x2或x2.f(x)在(，2)，(2，)上单调递减，在(2,2)上单调递增f(x)极小值f(2)16m.f(x)极大值f(2)16m.f(x)极大值f(x)极小值32.(2)由(1)知要使函数yf(x)有三个零点，必须即16m16.m的取值范围为(16,16)(3)当x1,3时，由(1)知f(x)在1,2)上单调递增，f(x)在2,3上单调递减，f(x)的最大值为f(2)又f(1)11m，f(3
11、)m9，f(1)f(3)，在1,3上f(x)的最小值为f(1)11m，11m2，m9.当x1,3时，f(x)的最大值为f(2)(2)3122925.函数与方程的思想函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)g(x)，x(a，b)，可转化为证明F(x)f(x)g(x)与0的关系，若F(x)0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数若F(a)0，则由增函数的定义，知当x(a，b)时，有F(x)F(a)0，即f(x)g(x)成立，同理可证明f(x)g(x)，x(a，b)设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2
12、时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x1,2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，当x2时，f(x)取得极小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范围为c9.再练一题4(2016郑州高二检测)已知函数f(x)，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围
13、【解】(1)对函数f(x)求导，得f(x).因为f(x)的图象在x1处与直线y2相切所以即所以a4，b1，所以f(x).(2)因为f(x)，所以直线l的斜率kf(x0)4，令t，t(0,1，则k4(2t2t)82，所以k.1(2015全国卷改编)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_. 【导学号：01580027】【解析】设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0时，f(x)0,0x1，当x0，g(x)0，x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)【答案】(，1)(0,1)2
14、(2015福建高考改编)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是_(填序号)f；f.【解析】令g(x)f(x)kx1，则g(0)f(0)10，gfk1f.g(x)f(x)k0，g(x)在0，)上为增函数又k1，0，gg(0)0，f0，即f.【答案】3(2016全国)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.【解析】求得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln
15、x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.【答案】1ln 24(2016全国)已知f(x)为偶函数，当x0时f(x)的解析式，再求切线方程因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.【答案】y2x15(2015湖南高考)(x1)dx_.【解析】(x1)dx2220.【答案】06(2015陕西高考)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_【解析】yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的
16、斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)【答案】(1,1)7(2016江苏高考)已知函数f(x)axbx(a0，b0，a1，b1)(1)设a2，b.求方程f(x)2的根；若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值(2)若0a1，函数g(x)f(x)2有且只有1个零点，求ab的值. 【导学号：01580028】【解】(1)因为a2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，
17、即2x1，解得x0.由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，所以m对于xR恒成立而f(x)24，且4，所以m4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f(x)2有且只有1个零点，而g(0)f(0)2a0b020，所以0是函数g(x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b，又由0a1知ln a0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当x(，x0)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证x00.若x00则x00，于是galoga220，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0a1，所以loga20.又0，所以x10，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.