1、3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示1了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法(重点、难点)2理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则(重点)3基向量的选取及应用(易错点)基础初探教材整理1空间向量基本定理阅读教材P87P88例1以上的部分，完成下列问题1空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.2基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个
2、基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量3正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示4空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xz.设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间基底的向量组有_个【解析】如图所示，设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D，C四点不共面可
3、知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因为xab，故a，b，x共面，故不能作为基底【答案】3教材整理2空间向量的坐标运算阅读教材P89P90例1以上的部分，完成下列问题1空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(a2a1，b2b1，c2c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标2空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量的加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量的减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘向量a(a1，a2，a3)，R向量平
4、行ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3，R已知向量a(1,0,2)，2ab(0,1,3)，则b_.【解析】b(2ab)2a(0,1,3)2(1,0,2)(2,1，1)【答案】(2,1，1)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型基底的判断(1)若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是_(填序号)a，ab，ab；b，ab，ab；c，ab，ab；ab，ab，a2b(2)若e1，e2，e3是空间的一个基底，且向量2e1e2e3，e1e22e3，ke13e22e3不能作为空间的一组基底，则k_.【
5、精彩点拨】(1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，共面，利用共面向量定理求解【解析】(1)若c，ab，ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a，b，c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底(2)因为，不能作为空间向量的一组基底，故，共面由共面向量定理可知，存在实数x，y，使xy，即ke13e22e3x(2e1e2e3)y(e1e22e3)故解得x，y，k5.【答案】(1)(2)5基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断用
6、基底表示空间向量如图3113所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量.图3113【精彩点拨】【自主解答】，()(bc)，()()a(bc)，(bc)a(bc)a，即a.用基底表示向量的技巧1定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底2找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果3下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量再练一题1如图311
7、4所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).图3114【解】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，连结AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.空间向量的坐标运算如图3115，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标图3115【精彩点拨】根据题意，以，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用，表示向量，即可得到结果【自主解答】法一：PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，是两两垂直的单
8、位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz，如图所示()()e2e3，.法二：P(0,0,1)，C(1,1,0)，N.又M，.1本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示，然后向坐标转化；法二则是直接利用向量的坐标运算，更简便2运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用再练一题2已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3116所示的空间直角坐标系，试写出，的坐标图3116【解】D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，(2,2,2)，(2,2,
9、1)，(0,1,0)空间向量平行的坐标表示已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3，0,4)，设a，b.(1)设|c|3，c，求c；(2)是否存在实数k，使(kab)(ka2b)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【精彩点拨】根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解【自主解答】(1)由条件，易得(2，1,2)，因为c，故设c(2，1,2)(2，2)，又因为|c|3，422429，解得1，故c的坐标为(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，假设存在实数k，使(kab)(ka2b)，即存在实数，
10、使kab(ka2b)，即(k1，k,2)(k2，k，4)，即解得，k0，所以存在实数k0，使(kab)(ka2b)两向量平行的充要条件有两个：ab，依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值.再练一题3设a(2,3,0)，b(3，2,1)，计算2a3b,5a6b，并确定，的值，使ab与向量b平行. 【导学号：09390072】【解】a(2,3,0)，b(3，2,1)，2a3b2(2,3,0)3(3，2,1)(4,6,0)(9，6,3)(5,0,3)，5a6b5(2,3,0)6(3，2,1)(10,15,0)(18，12,6)(28,27，6)ab(2,3,0)(3，2,1)(
11、23，32，)，且(ab)b，0，R，即0，R时，ab与b平行探究共研型空间向量的坐标运算探究1如何建立空间直角坐标系？【提示】(1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示探究2如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？【提示】运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式
12、进行论证、计算；(5)转化为几何结论如图3117，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点求证：PQRS.图3117【精彩点拨】以O为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明【自主解答】如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)PA2PA1，SB12BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
13、于是，.RPQ，PQRS.再练一题4已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，1,2)，B(1,2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形【证明】(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，与共线，即ABCD.又(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，与不平行四边形ABCD为梯形构建体系1设a(1,2,3)，b(2,2，2)，若(kab)(ab)，则k_.【解析】kabk(1,2,3)(2,2，2)(k2,2k2,3k2)，ab(1,4,1)(kab)(ab)，3k2，
14、解得k1.【答案】12已知向量a(1,2,1)，ab(0,1,2)，则b_.【解析】baba(0,1,2)(1,2,1)(1，1,1)【答案】(1，1,1)3已知向量a(2，3,5)与向量b平行，则等于_. 【导学号：09390073】【解析】由题意知，存在实数k，使bka，即k(2，3,5)，即解得k，.【答案】4在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，在如图3118所示的空间直角坐标系中，的坐标分别为_，_.图3118【解析】由题意得，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0,2,4)，则D(2,1,4)，(2，1，4)
15、，(4,2，4)【答案】(2，1，4)(4,2，4)5如图3119所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，.设a，b，c，试用a，b，c表示.图3119【解】()()abcbcabc.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_【解析】由a，b，c是空间的一个基底知，a，b，c不共面由空间向量基本定理得xyz0.【答案】xyz02已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b_.【解析】ba(ab)(1，2,1)(1,2，1)
16、(2，4,2)【答案】(2，4,2)3若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则是ab的_条件【解析】设k，易知ab，即条件具有充分性又若b0时，b(0,0,0)，显然有ab，但条件显然不成立，所以条件不具有必要性【答案】充分不必要4若a，b，c是空间的一个基底，向量mab，nab，则向量a，b，c中与m，n可以构成空间向量另一个基底的向量是_【解析】显然a或b均与m，n共面，c与m，n不共面，故为c.【答案】c5如图3120所示，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若xy，则x_，y_.图3120【解析】()()，x，y.【答案】6已知a(2x,1,3)，b(1，2y
17、,9)，若ab，则x_，y_.【解析】a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，又ab，显然y0，x，y.【答案】7底面为正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，点E，F分别是BC和PD的中点，若PAAB2，则向量的坐标为_【解析】建立空间直角坐标系，如图所示则E(2,1,0)，F(0,1,1)，(2,0,1)【答案】(2,0,1)(答案不惟一)8已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量，表示向量为_图3121【解析】()().【答案】二、解答题9如图3122所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为A
18、C的中点图3122(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点且，若xyz，试求x，y，z的值【解】(1)，().(2)().即x，y，z.10如图3123，在长方体ABCDA1B1C1D1中，DADC4，DD13，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PEA1B?图3123【解】以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)E为BC的中点，E(2,4,0)(4,4,0)(4,0,3)(0,4，3)，(0,0,3)(4,4,0)(4，4,3)，(4,4,0)(2,4,0)(2,0,0)设，则.(2,0,
19、0)，(4，4，3)，(24，4，3)由PEA1B，得，.此时点P为BD1的中点故当点P为BD1的中点时，PEA1B.能力提升1有以下命题：如果向量a，b与任何向量均不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底其中正确的命题是_. 【导学号：09390074】【解析】错误，当a，b共线时，才可与任何向量不能构成空间向量的一组基底；由于，不构成空间的一个基底，故，共面，即O，A，B，C四点共面，即正确；如图所示，在平行六面体ABC
20、DA1B1C1D1中，设a，b，c，则ab，ab，显然，不共面，也是基底，正确【答案】2已知点A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点，且，则C点坐标为_【解析】设C点坐标为(x，y，z)，则(x4，y1，z3)(2，6，2)，(2，6，2)，解得【答案】3一个向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则p在ab，ab，c下的坐标为_【解析】设px(ab)y(ab)zc，则p(xy)a(xy)bzc，又pa2b3c，x，y，z3.p在ab，ab，c下的坐标为.【答案】4如图3124所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，表示和.图3124【解】()().()().