1、11 平面直角坐标系学习目标预习导学典例精析栏目链接1体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步骤2会运用坐标法解决实际问题与几何问题 3通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平面图形的变化情况及作用学习目标预习导学典例精析栏目链接题型一 轨迹探求学习目标预习导学典例精析栏目链接例1 线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|4，求AB中点P的轨迹方程分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适 解析：解法一 以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示设 P(x，y
2、)，由于OAB 是直角三角形，P 为 AB 的中点，所以，|OP|12|AB|，即 x2y2124，即 x2y24.故点 P 的轨迹方程为 x2y24.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二 建立直角坐标系，同解法一 设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)，则xy16.又P为AB的中点，所以x12x，y22y.代入，得4x24y216.故点P的轨迹方程为x2y24.答案：x2y24学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：1求曲线方程一般有下列五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简
3、化；(2)写出适当条件P下的点M的集合：M|P(M)；(3)用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)0；(4)化简方程f(x，y)0(必须是等价变形)；(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补上遗漏点或挖去多余点学习目标预习导学典例精析栏目链接一般地，方程的变形过程是等价的，步骤(5)可以省略 2求曲线方程主要有以下几种方法：(1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或、)的等式，我们称之为“直译”(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，
4、称之为相关点如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动点的轨迹方程(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程再确定其中的基本量 3在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意：(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解题过程简化，减少计算量 学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范
5、围的基础上求曲线方程如果只求出曲线的方程，而没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后的结论是不完备的(3)坐标系建立不同，同一曲线的方程也不相同学习目标预习导学典例精析栏目链接1已知线段AB长4，则以AB为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_答案：x2y24(x2)变式训练题型二 伸缩变换 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 2 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x2x，y4y后的图形(1)2x4y1；(2)x2y24.解析：由伸缩变换式x2x，y4y得x12x，y14y.(1)将代入 2x4y1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 xy1.学习目标预习导学典例精析栏
6、目链接所以，经过伸缩变换后，直线 2x4y1 变成直线 xy1.(2)将代入 x2y24，得到经过伸缩变换后的图形的方程为x24 y216 4.所以，圆 x2y24 经过伸缩变换后变成椭圆x216 y264 1.答案：(1)xy1(2)x24 y216 4学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换5xx4yy，曲线 C 变为曲线 x2y21，求曲线 C 的方程解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的坐标为(x，y)，由5xx，4yy得x15x，y14y.代入 x2y21，得x225y2161.答案：x225y2161学习目标预习导学典例精析
7、栏目链接 例 4 求方程 ysin x 变为 y12sin 4x的伸缩变换公式解析：令变换公式为xx，0，yy，0.x1x，y1y代入 ysin x 得 1ysin 1x.与 y12sin 4x比较知：14，12.x14x，y12y.答案：x14x，y12y学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：若已知 P(x，y)是伸缩变换之前图形 f(x，y)0 上的任意一点，在变换xx（0），yy（0）的作用下，得到了 P(x，y)在变换下的对应点 P(x，y)，因而可以求得变换后的图形方程 f(x，y)0，反过来，变换又可以表示为x1（0），y1y（0），点 P(x，y)对应得到点 P(x，y)，即由变
8、换可得出 f(x，y)0.学习目标预习导学典例精析栏目链接我们还可以由变换前后的方程求出对应的伸缩变换，这时只要求出，的值即可 在坐标伸缩变换的的作用下，可以实现平面图形的伸缩，即平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示 在伸缩变换：xx（0），yy（0）的作用下，直线变成直线，圆可以变成椭圆，椭圆可以变成圆等 学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2已知伸缩变换公式xx，y4y，曲线 C 在此变换下变为x2y216 1，求曲线 C 的方程解析：设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，把xx，y4y代入 x2y216 1，得 x2y21.故曲线 C 的方程为 x2y21.答案：x2y21学
9、习目标预习导学典例精析栏目链接析 疑 难 提 能 力 学习目标预习导学典例精析栏目链接 例 由 ysin x 伸缩得到变换得到 ysin 2x，横坐标是伸长为原来的 2 倍，还是缩为原来的12？错解：由 ysin x 到 ysin 2x，横坐标是伸长为原来的 2 倍分析：将公式xkx，yy代入 ysin 2x中得 ysin 2kx，将 ysin2kx 与 ysin x 比较系数可得 k12，所以由 ysin x 到 ysin 2x 的伸缩变换是每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，这与函数解析式 ysin 2x 的形式正好相反学习目标预习导学典例精析栏目链接正解：将变换后的曲线 ysin
10、2x 改写成 ysin 2x，设伸缩变换为xx（0），yy（0）.代入上式得 ysin(2x)，即 y 1sin(2x)，比较系数得21，11，解得12，1.故伸缩变换为x12x，yy.由伸缩规律可知：由 ysin x 到 ysin2x 的伸缩变换是每个点的纵坐标不变，横坐标为原来的12.易错点：不理解伸缩变换的定义导致错误学习目标预习导学典例精析栏目链接【易错点辨析】对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式x x（0），yy（0），要区分(x，y)与(x，y)的意义，在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x，y)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x，y)的坐标满足变换后的曲线方程
