1、高考资源网（） 您身边的高考专家第七节正弦定理和余弦定理的应用举例最新考纲考情分析核心素养能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题可能是2021年的考查点，题型是选择题、填空题.1.数学建模2.数据分析3.直观想象知识梳理1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如B点的方位角为(如图)3方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆
2、时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似常用结论区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角(2)方向角：某一正方向线与目标方向线所成的锐角4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察
3、点与目标点之间的位置关系()(5)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 mB50 mC25 mD m答案：A3(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在水平地面的同一条直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_答案：a三、易错自纠4若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且
4、ACBC，则点A在点B的_方向上解析：如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案：北偏西155.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，且与它相距8 n mile，则此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，由题意得，在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，则v32.答案：32【例1】如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平
5、面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_m.解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，PAABtan 60900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900 m.答案900名师点津测量距离问题的实质和解题关键测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的
6、关键|跟踪训练|1.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C测量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_取cos 48.19解析：依题意知，在ACD中，DAC30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcos ACB10，解得AB.答案：【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
7、30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)答案100名师点津求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用|跟踪训练|2.如图，测量河对岸的塔高AB时
8、可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5B15C5D15解析：选D在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦
9、察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)221012xcos 120，解得x2，故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.名师点津测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角|跟踪训练|3(2019届惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _解析：由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理，得DCB180(45)4590，根据正弦定理，得，即DB100sin 15100sin(4530)25()，又，即，得到cos 1.答案：1- 5 - 版权所有高考资源网