1、章末小结与测评互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥若事件 A1，A2，An彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若 A 与 B 互为对立事
2、件，则利用公式 P(A)1P(B)求解典例 1 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型A B AB O该血型的人所占比例(%)28 29835已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是 B 型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 的事件分别记为 A，B，C，D，由已知，有 P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35，因为 B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”
3、为事件 BD.依据互斥事件概率的加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)法一：由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件 AC，依据互斥事件概率的加法公式，有 P(AC)P(C)P(A)0.280.080.36.法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有 P(AC)1P(BD)1P(B)P(D)10.640.36.对点训练1某商场有奖销售中，购满 100 元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位设特等奖 1 个，一等奖 10
4、个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取 1 张奖券中奖的概率；(3)抽取 1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率解：(1)每 1 000 张奖券中设特等奖 1 个，一等奖 10个，二等奖 50 个，P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.(2)设“抽取 1 张奖券中奖”为事件 D，则P(D)P(A)P(B)P(C)11 000 1100 120 611 000.(3)设“抽取 1 张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 E，则 P(E)1P(A)P(B)111
5、000 1100 9891 000.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数 n与事件 A 中包含的结果数 m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式 P(A)mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏典例 2 一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客 P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为 1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客 P1
6、因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有 4 种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客 P1 坐在了 2 号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率.乘客P1 P2 P3 P4 P53214532451座位号解：(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1 P2 P3 P4 P532415座位号32541(2)若乘客
7、 P1 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客P1 P2 P3 P4 P521345231452341523451235412431524351座位号25341于是，所有可能的坐法共 8 种设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4.所以 P(A)4812.乘客 P5 坐到 5 号座位的概率是12.对点训练2现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率解：(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,
8、4；2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共 6 个，所以P(A)61525.(2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共 8 个，所以 P(B)815.若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发
9、生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A)mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想典例 3 已知关于 x 的一元二次方程 x22(a2)xb2160.(1)若 a、b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若 a2,6，b0,4，求一元二次方程没有实数根的概率解：(1)基本事件(a，b)共有 36 个，且 a，b1,2,3,4,5,6，方程有两个正实数根等价于 a20,16b20，0，即 a2，4b4，(a2)2b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A，则事件
10、 A 所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共 4 个，故所求的概率为 P(A)43619.(2)试 验 的 全 部 结 果 构 成 区 域 (a，b)|2a6,0b4，设“一元二次方程无实数根”为事件 B，则构成事件 B 的区域为 B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，如图可知构成事件 的区域面积为 S()16.构成事件 B 的区域面积为：S(B)14424，故所求的概率为 P(B)4164.对点训练3设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm.现用直径为 2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率解：
11、记事件 A“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为2 3.P(A)SABCSABC 34 2 3234 4 3214.统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的典例 4(2015安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布
12、直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80，90)，90,100(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40,50)的概率解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004a0.0180.02220.028)101，解得 a0.006.(2)由频率分布直方图可知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.(3)受访职工中评分在50,60
13、)的有：500.006103(人)，记为 A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.004102(人)，记为 B1，B2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有10 种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因为所抽取 2 人的评分都在40,50)的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概率为 110.对点训练4随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲
14、班的样本方差；(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 cm179 cm之间，而乙班身高集中于 170 cm179 cm 之间因此乙班平均身高高于甲班；(2)甲班的平均身高 x 15816216316816817017117917918210170(cm)甲班的样本方差s2 110(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168170)2(170170)2(171170)2(179170)2(179170)2(182170)257.2(cm2)(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A，从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，P(A)41025.即身高为 176 cm 的同学被抽中的概率为25.