1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情分析核心素养1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查两个原理的应用，分值为5分.1.数学建模2.数学运算知识梳理两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法Nmn种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法Nmn种不同的方法基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在
2、分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修23P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A24种B30种C36种D48种答案：D3(选修23P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2
3、本不同的体育书从书架中任取1本书，则不同取法的种数为_答案：9三、易错自纠4小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡若他至少买一张，则不同的买法共有()A7种B8种C6种D9种解析：选A要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC电话卡，买2张IC电话卡，买3张IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法所以不同的买法共有2327(种)5已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、二象限不同
4、点的个数为_解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有326(个)不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有428(个)不同的点，故由分类加法计数原理得共有6814(个)不同的点答案：14|题组突破|1(2019届河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少去一人其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A8B7C6D5解析：选B根据题意，分2种情况讨论：乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A2(种)情况乙不去A社区，则乙必须去C
5、社区，若丙丁都去B社区，有1种情况；若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有224(种)情况，则不同的安排方法有2147(种)，故选B2(2019届广西桂林、崇左、百色模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是()A6B10C12D24解析：选B将题图中左边的集装箱从上往下分别记为1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，14523，14235，14253，共6种取法；若先取4，
6、则有45123，41235，41523，41253，共4种取法，故共有6410(种)取法3若椭圆1的焦点在y轴上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为_解析：若椭圆1的焦点在y轴上，则mn.当m1时，n2，3，4，5，6，7，共6个；当m2时，n3，4，5，6，7，共5个；当m3时，n4，5，6，7，共4个；当m4时，n5，6，7，共3个；当m5时，n6，7，共2个故共有6543220(个)满足条件的椭圆答案：20名师点津使用分类加法原理时2个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方
7、法必须属于某一类，不能重复|题组突破|4(2019届湖北黄冈第一次调研)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是()A56B65CD65432解析：选A每名同学有5种选法，且相互之间独立，所以共有55555556(种)选法，故选A5(2019届滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有()A6种B12种C24种D30种解析：选C分步完成：第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；第二步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法；第三步，乙从剩余的2门中选出一门课程有2种方法甲、乙恰有1门相同课程的选法有4322
8、4(种)6从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数是()A30B42C36D35解析：选C因为abi为虚数，所以b0，即b有6种取法，所以a有6种取法由分步乘法计数原理知可以组成6636(个)虚数名师点津需谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成当正面考虑问题比较复杂时，可采用正难则反的原则解题【例】(1)在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24B48C72D96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平
9、面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48B18C24D36解析(1)分两种情况：A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有43224(种)涂法A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有432248(种)涂法故共有244872(种)涂色方法(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236
10、(个)答案(1)C(2)D名师点津1利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解2涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理|跟踪训练|1如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂
11、法，共有432124(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，共有24248(种)涂法所以不同的涂法共有244872(种)答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答)解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有8个由分类加法计数原理知，共有32840(个)答案：40【例】设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x
12、3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90C120D130解析设t|x1|x2|x3|x4|x5|，若t1，说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为1或1，其他为0，所以有C210(个)元素满足t1；若t2，说明x1，x2，x3，x4，x5中有两个为1或1，其他为0，所以有C2240(个)元素满足t2；若t3，说明x1，x2，x3，x4，x5中有三个为1或1，其他为0，所以有C22280(个)元素满足t3，从而，共有104080130(个)元素满足1t3.答案D名师点津两个原理综合应用的1个关键点解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求|跟踪训练|已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40B16C13D10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513(个)不同的平面