1、2.4第二课时 等比数列的应用一、课前准备 1.课时目标 搞清等比数列的应用，利用等比数列的性质解决问题，搞清数列在实际问题中的应用，能解决与数列有关的应用问题，熟练掌握等比数列的性质解决问题2. 基础预测（1）对于正整数，若满足，则等比数列中，满足（2）等比数列满足是单调递增数列，满足时，单调递减数列.（3）在等比数列中满足且（），则（4）遇到等比数列问题，一般先求和.二、 基本知识习题化1. 已知各项均为实数的数列为等比数列，且满足，则.A.9或 B. C. D.9或162. 在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（）.A.12 B.10 C.8 D. 3. 在等比数列中，已知则等于（）
2、.A.10 B.25 C.50 D.754.已知数列成等差，数列，成等比数列，则的值为（）A. B. C. 或 D. 三、学法引领（1） 对于等比数列问题，搞清等比数列的通项公式，遇到等比数列问题，要先用等比数列的性质解题，能够用性质解题首先利用性质解题，不能用性质要通过计算求出首项与公比再求解.（2） 在等比数列的单调递增与递减问题，注意要由首项与公比同时确定数列是单调递增数列，即当或是单调递增数列，当满足或单调递减数列.（3） 利用等比数列解决应用问题，首先要确定公比，再确定首项 与项数进行求解.四、典例导析变式练习题型1 等比数列性质的应用例1 已知四个数，前三个数成等比数列，和为，后三
3、个数成等差数列，和为，求此四个数.思路导析：根据等比数列求出前三项，再求出第四项解方程求出四个数.解：依题意可设这四个数分别为:,4, ,则由前三个数和为19可列方程得,整理得,解得或.这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.规律总结：对于等比数列与等差数列，在设变量时越少越好，利用解方程求解.变式训练1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数 题型2 等比数列的应用问题例2 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用
4、地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列an的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）思路剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是an+1=an+bn=an
5、+（1an）=an+.（2）an+1=an+，an+1=（an）.数列an是公比为，首项a1=的等比数列.an+1=+（）（）n.（3）an+160%，+（）（）n，（）n，n（lg91）lg2，n6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.规律总结：利用数列解应用问题，要首先审清题意，列出关系式，求出满足的关系式，如果有指数的问题可以求导解决.变式训练2.某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是A.B.C.D.题型3三 等差与 等比数列的应用例3 设数列的前项和为 已知（I
6、）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。思路导析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以解: 解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 规律总结：遇到由与一般进行转化，把转化为再求解，不是等差与等比数列的问题，要转化等差与等比数列求解变式训练3. 数列的前项和记为，（1）当为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又 成等比数列，求 五、随堂练习1. 已知三角形的三边构成等比
7、数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）A B C D 2.在等比数列的值为（ ）A9B1C2D33.在等比数列an中，a11，qR且q1，若ama1a2a3a4a5，则m等于( )A.9B.10C.11D.124.若是等比数列，且公比为整数，则.5.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 6. 三个数成等差数列，其比为，如果最小数加上，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ 六、课后作业1.在等比数列中，已知，则等于（ ）A、 B、 C、或 D、2.在等比数列an中, a10, 若对正整数n都有an1 B 0q1 C q0 D q1 3. 已知各项都是正数的等比数列的
8、任意一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q_.4.在正项等比数列中，则_ 答案： 5.已知数列中，a1=，以an-1，an为系数的二次方程：an1x2anx+1=0都有实根、，且满足3+3=1。求证：a是等比数列；求的通项。6.已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比，（1）求； （2）设，求数列的前n项和。参考答案一、课前准备2. 基础预测（1）【】（2）【当或，或】（3）【】（4）【首项，公比】二、 基本知识习题化1. 解析：D 设等比数列的公比为，由题意得，故选D.2. 解析：B 是等比数列，且，.从而原式.3. 解析：B 法1 ：.法2：由已知得=5.
9、4.解：A由已知可得四、典例导析变式练习1.解：设四个数依次为a, b, 12b, 16a, 则, 解得或, 这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.2. 解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）x；二次砍伐后木材存量为S（1+25%）x（1+25%）x.由题意知（）2Sxx=S（1+50%），解得x=.答案：C3. 解：（1）由，可得，两式相减得，当时，是等比数列，要使时，是等比数列，则只需，从而 （2）设的公差为d，由得，于是， 故可设，又，由题意可得，解得，等差数列的前项和有最大值， 五、随堂练习1. 解析：【D 】 设三边为则，即 得，即2. 解析：【D】.3.
10、【C】解： 4. 解：.联立或.5. 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为6，插入的三个数之积为62166. 解：设原三数为，不妨设则 原三数为 六、课时作业1. 解析：C 由已知及等比数列性质知 解得或所以或，所以或，故选C.2. 【B】 解析：在等比数列an中, a10, 若对正整数n都有anan+1, 则anan即an(1q)若q0,则an0,因此0q1.3. 答案： 解析： ，因为数列各项均为正数，所以，则q.4. 解析：5. 证明：3（+）=1 ，3 a=an-1+1 ，an=(an-1)a是等比数列a=()n-1=()n a=()n+6. 解：（）依题意得（）又