1、第八节函数与方程及函数模型的应用最新考纲考情分析核心素养1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.3.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用.本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍将是2021年高考考查的热点，题型多以选择题为主，
2、属于中档题，分值为5分.1.数学运算2.逻辑推理3.直观想象4.数学建模知识梳理1函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个3.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0
3、，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修1P9
4、2A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1，2)B(2，3)C(3，4)D(4，5)答案：B3(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是()A函数f(x)在区间(0，1)内有零点B函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C函数f(x)在区间2，16)上无零点D函数f(x)在区间(1，16)内无零点答案：C4(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.
5、500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2Dylog2x答案：D5(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2020年B2021年C2022年D2023年答案：B三、易错自纠6函数f(x)ln x的零点所在的大致范围是()A(1，2)B(2，3)C和(3，4)D(4
6、，)解析：选B易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，得f(2)f(3)0，故选B7某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_答案：y函数的零点问题是命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，归纳起来常见的命题角度有：(1)函数零点个数的判断；(2)函数零点所在区间的判定；(3)已知方程根或函数零点求参数范围命题角度一函数零点个数的判断【例1】函数f(x)的零点个数为()A3 B2C1D0解析解法一：由f(x)0，得或解得
7、x2或xe，因此函数f(x)共有2个零点解法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点答案B名师点津判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点命题角度二函数零点所在区间的判定【例2】(2
8、019届太原模拟)函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()AB(1，2)C(2，e)D(e，3)解析因为yln x与yx在(0，)上均单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增，且f(2)ln 2ln 0，所以f(2)f(e)0，故函数f(x)的零点所在的区间是(2，e)答案C名师点津判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)图象法：通过画
9、函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断命题角度三已知方程根或函数零点求参数范围【例3】(2019届昆明市高三质检)已知函数f(x)若方程f(x)2有两个解，则实数a的取值范围是()A(，2)B(，2C(，5)D(，5解析解法一：当x1时，由ln x12，得xe，由方程f(x)2有两个解知，当x1时，方程x24xa2有唯一解令g(x)x24xa2(x2)2a6，则g(x)在(，1)上单调递减，当x1时，g(x)0有唯一解，则g(1)0，得a5，故选C解法二：随着a的变化引起yf(x)(x1)的图象上下平移，作出函数yf(x)的大致图象，如图，由图象知，要使f(x)2有两个解，则a3
10、2，得a5，故选C答案C名师点津已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的3种常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解【例4】(2019届山东三校联考)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单元：元)满足如下关系：W(x)其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元已知这种水果的市
11、场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位：元)(1)求f(x)的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？解(1)由已知，得f(x)15W(x)20x10x15W(x)30x(2)由(1)得，f(x)当0x2时，f(x)maxf(2)390；当2x5时，f(x)78030780302480，当且仅当1x，即x4时等号成立因为3901时，f(x)且f(x1)为奇函数，若方程f(x)kxk(kR)的根为x1，x2，xn，则x1x2xn的所有可能取值为()A6或4或2B7或5或3C8或6或4或2D9或7或5或3解
12、析f(x1)为奇函数，其图象关于(0，0)中心对称，则yf(x)的图象关于(1，0)中心对称，结合函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，由f(1)0及x1时f(x)作出函数f(x)的图象，同时作出函数ykxkk(x1)的图象(过定点(1，0)的直线)如图所示，当直线ykxk分别位于、位置时，直线ykxk与函数f(x)的图象分别有9，7，5，3个交点，且交点关于点(1，0)两两对称，方程f(x)kxk分别有9，7，5，3个不等实根，根的和分别为9，7，5，3，故选D答案D名师点津函数的零点问题是函数的图象与性质的综合运用问题，因此在解题过程中，要深入分析函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象
13、，从而解决函数的零点问题|跟踪训练|(2019届石家庄市质检)已知函数f(x)其中e为自然对数的底数，则对于函数g(x)f(x)2f(x)a有下列四个命题：命题1存在实数a，使得函数g(x)没有零点；命题2存在实数a，使得函数g(x)有2个零点；命题3存在实数a，使得函数g(x)有4个零点；命题4存在实数a，使得函数g(x)有6个零点其中，正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：选D设h(x)4x36x21(x0)，则h(x)12x(x1)(x0)，x1时，h(x)0；0x1时，h(x)时，方程t2ta0无解，函数g(x)没有零点；当0at1，则0t1t21，由图1得函数g(x)有2个零点4个命题全部正确，故选D
