1、3.2立体几何中的向量方法(二)空间向量与垂直关系课时目标1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系1空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lm_设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量u(a2，b2，c2)，则l_若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量为v(a2，b2，c2)，则_2.空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为_证明直线的方向向量与平面的法向量
2、是_证明两个平面的法向量_证明两直线所成角为_.证明直线与平面内的相交直线_.证明二面角的平面角为_._.一、选择题1设直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1B2C3D42已知A(3,0，1)，B(0，2，6)，C(2,4，2)，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形3若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交4平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定5
3、设直线l1的方向向量为a(1，2,2)，l2的方向向量为b(2,3,2)，则l1与l2的关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是() A平行 B相交C相交且垂直 D以上都不是二、填空题7已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.8已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对9下列命题中：若u，v分别是平面，的法向量，则uv0；若u是平面的法向量且向量a与共面，则ua0；若两个
4、平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直正确的命题序号是_(填写所有正确的序号)三、解答题10已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.11已知ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，求证：平面AB1D平面ABB1A1.能力提升12如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB3AQ，证明：PQOA.13如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点证明：AE平面PBC.垂
5、直关系的常用证法(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直(3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直3.2立体几何中的向量方法(二)空间向量与垂直关系知识梳理1abauuv2.线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为0.证明两直线所成角为直角.证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量证明直线与平面内的相交直线互相垂直.证明两个平面的法向量垂直证明二面角的平面角为直角.作业设计1Bl1l2，ab，ab(1,2，2)(2,3，m)262m0，m2.2C(3，2，5)，(1,4，1)，(2,6,4)，0，
6、ABAC，且|，ABC为直角三角形3Bn2a，na，l.4C(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直5Bab2123220，ab，l1l2.6C可以建立空间直角坐标系，通过与的关系判断79解析l，uv，(1，3，z)(3，2,1)0，即36z0，z9.80解析ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10.a，b，c中任意两个都不垂直，即、中任意两个都不垂直910证明如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，、所在直线为y轴、z轴，则A(0,0,0)，B1，M，N.，.0，即AB1MN.11证明如图，取A
7、B1的中点M，则.又，两式相加得2.由于2()0，2()()|2|20.DMAA1，DMAB，AA1ABA，DM平面ABB1A1，而DM平面AB1D.平面AB1D平面ABB1A1.12证明取O为坐标原点，以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)设A(1,0,0)，C(0,0,1)，B.P为AC中点，P.，又由已知，可得，又，.(1,0,0)0，故，即PQOA.13.证明如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)于是(，0，)， (0，a,0)，(，a，)，则0，0.所以AEBC，AEPC.又因为BCPCC，所以AE平面PBC.