1、第一章 三角函数 1 数列 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象 学 习 目 标核 心 素 养 1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 正切函数的图象与性质解析式ytan x 图象 定义域 xxR，且x2 k，kZ值域_ 周期_ 奇偶性_ 对称中心 单调性在开区间内都是增函数 奇函数k2，0，kZ2k，2k，kZR思考：正切函数图象的对
2、称中心都在正切函数图象上吗？提示 不是，在k2，0 中，当 k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上1函数 f(x)tanx4 的单调增区间为()A.k2，k2，kZB.k，k，kZC.k34，k4，kZD.k4，k34，kZC 令 k2x4k2(kZ)得 k34 xk4(kZ)，故单调增区间为k34，k4(kZ)2函数 ytan2x6 的定义域为xxk2 3，kZ 因为 2x6k2，kZ，所以 xk2 3，kZ，所以函数 ytan2x6 的定义域为 xxk2 3，kZ.3函数 ytan 3x 的最小正周期是3 函数 ytan 3x 的最小正周期是3.4函数 ytanx5 的
3、对称中心是k2 5，0(kZ)令 x5k2(kZ)得 xk2 5(kZ)，对称中心为k2 5，0(kZ)合 作 探 究 释 疑 难 有关正切函数的定义域、值域问题【例 1】(1)函数 y 1tan x4x4，且x0 的值域是()A(1,1)B(，1)(1，)C(，1)D(1，)(2)求下列函数的定义域：y11tan x；ylg(3tan x)思路点拨：(1)由x范围求出tan x的范围 求 1tan x的范围(2)中注意分母不为零且 ytan x 本身的定义域；中注意对数大于零从而得到定义域(1)B 当4x0 时，1tan x0，1tan x1；当 0 x4时，0tan x1，1tan x1.
4、即当 x4，0 0，4 时，函数 y 1tan x的值域是(，1)(1，)(2)解 要使函数 y11tan x有意义，需使1tan x0，xk2kZ，所以函数的定义域为 xkR且xk4，xk2，kZ.因为 3tan x0，所以 tan x 3.又因为 tan x 3时，x3k(kZ)，根据正切函数图象，得 k2xk3(kZ)，所以函数的定义域是 xk2xk3，kZ.1求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即x 2 k，kZ.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体
5、”令xk2，kZ，解得x.2解形如 tan xa 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件跟进训练1求函数 y tan x1lg(1tan x)的定义域 解 要 使 函 数 y tan x1 lg(1 tan x)有 意 义，则tan x10，1tan x0，即1tan x1.当 x2，2 上满足上述不等式的 x 的取值范围是4，4.又 因 为 y tan x 的 周 期 为 ，所 以 所 求 x 的 定 义 域 为x4kx4k，kZ.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例 2】(1)函数 f(x)tan2x3 的周期为(2)已知函数 ytanx3，则该函数图象的对称中心
6、坐标为(3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycos2x tan x.思路点拨：(1)形如 yAtan(x)(A0)的周期 T|，也可以用定义法求周期(2)形如 yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由 xk2，kZ 求出(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断 f(x)与 f(x)的关系(1)2(2)k2 3，0(kZ)(1)法一：(定义法)tan2x3 tan2x3，即 tan2x2 3 tan2x3，f(x)tan2x3 的周期是2.法二：(公式法)f(x)tan2x3 的周期 T2.(2)由 x3k2(kZ)得 xk2 3(kZ)，所以图象的对称中心坐标为
7、k2 3，0，kZ.(3)解 定义域为xxk2 4，kZ，关于原点对称，又 f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数 定义域为xxk2，kZ，关于原点对称，ycos2x tan xsin xtan x，又 f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数1函数 f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定义法(2)公式法：对于函数 f(x)Atan(x)的最小正周期 T|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于
8、原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系提醒：ytan x，xk2(kZ)的对称中心坐标为k2，0，kZ.跟进训练2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)tan2xtan xtan x1；(2)f(x)tanx4 tanx4.解(1)由xk2，kZ，tan x1，得 f(x)的定义域为 xxk2且xk4，kZ，不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为 xxk4且xk4，kZ，关于原点对称，又 f(x)tanx4 tanx4 tanx4 tanx4 f(x)，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用
9、 探究问题 1正切函数 ytan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是正切函数的图象被直线 xk2(kZ)隔开，所以它的单调区间只在k2，k2(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设 x14，x254，x1x2，但 tan x1tan x2.2如果让你比较 tan43 与 tan115 的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较【例 3】(1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：tan 134 与 tan175；tan134 与 tan165.(2)求函数 y3tan42x 的单调区间思路点拨：(1)把角化成同一
10、单调区间上 根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y3tan2x4 求出单调区间 解(1)因为 tan134 tan4，tan175 tan25，又 0425 2，ytan x 在0，2 内单调递增，所以 tan4tan25，即 tan134 tan175.因为 tan134 tan4，tan165 tan5，又 0542，ytan x 在0，2 内单调递增，所以 tan4tan5，所以tan4tan5，即 tan134 tan165.(2)y3tan42x 3tan2x4，由2k2x42k，kZ 得，8k2x38 k2，kZ，所以 y3tan42x 的减区间为 8k2，38 k2，kZ.1将
11、本例(2)中的函数改为“y3tan12x4”，结果又如何？解 由 k212x4k2(kZ)，得 2k2x2k32(kZ)，函数 y3tan12x4 的单调递增区间是2k2，2k32(kZ)2将本例(2)中函数改为“ylg tan2x4”，结果又如何？解 因为函数 ylg x 在(0，)上为增函数，所以函数 ylg tan x 的单调递增区间就是函数 ytan x(tan x0)的单调递增区间，令 k2x4k2(kZ)，得k2 8xk2 38(kZ)，故 ylg tan2x4 的增区间为k2 8，k2 38，kZ.1求函数 yAtan(x)(A0，0，且 A，都是常数)的单调区间的方法(1)若
12、0，由于 ytan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 k2xk2，kZ，解得 x的范围即可(2)若 0，可利用诱导公式先把 yAtan(x)转化为 yAtan(x)Atan(x)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间课 堂 小 结 提 素 养 1正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为 xk2，kZ，相邻两条渐近线之间都有
13、一支正切曲线，且单调递增作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线 x2，x2，然后描出三个点(0,0)，4，1，4，1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可2正切函数的性质(1)正切函数 ytan x 的定义域是xxk2，kZ，值域是R.(2)正切函数 ytan x 的最小正周期是，函数 yAtan(x)(A0)的周期为 T|.(3)正切函数在2k，2k(kZ)上递增，不能写成闭区间正切函数无单调减区间1下列说法正确的是()A正切函数的定义域和值域都是 RB正切函数在其定义域内是单调增函数C函数 y|tan x|与 ytan x 的周期都是 D函数 ytan|x|
14、的最小正周期是2C ytan x 的定义域为xxk2kZ，所以 A 错；由正切函数图象可知 B 错；画出 ytan x，y|tan x|和 ytan|x|的图象可知 C 正确，D 错误，因为 ytan|x|不是周期函数2在下列函数中同时满足：在0，2 上递增；以 2 为周期；是奇函数的是()Aytan x Bycos xCytanx2Dytan xC A，D 的周期为，B 中函数在0，2 上递减，故选 C.3函数 y|tan x|在2，32 上的单调减区间为2，0 和2，如图，观察图象可知，y|tan x|在2，32 上的单调减区间为2，0 和2，.4求函数 ytanx23 的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心解 由x23k2，kZ，得 x2k 53，kZ，函数的定义域为xx2k53，kZ.T122，函数的最小正周期为 2.由 k2x23k2，kZ，得 2k3x2k53，kZ，函数的单调递增区间为2k3，2k53，kZ.由x23k2，kZ，得 xk23，kZ，函数图象的对称中心是k23，0，kZ.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!