1、椭圆的标准方程12(61)(32)1PP已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭【例】圆的方程2212221(00)(61)(32)1619,321131.93mxnymnPPmmnmnnxy 设所求的椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以解得，故所求的椭圆标准方程为【】解析已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程进行分类讨论，用待定系数法求出a，b的值，但若设为mx2ny21，则包含了焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种情况，是一个好的选择，避免讨论，简化解题过程【变式练习1】求中心在原点，并与椭圆9x24y236有相同的焦点，且经过点Q(2，3)的椭圆
2、的标准方程222222222222(05)10515,941101.1510yyxabababababyx由题设知，所求椭圆的焦点在 轴上，且焦点坐标为，故设所求椭圆的方程为，则解得故所求椭圆的方程为【】解析椭圆的几何性质 224,022,212591524xyABMMAMBMBMA已知，是椭圆 内的两个点，是椭圆上的动点求：的最大【例】值和最小值；的最小值 22221259534.4,0(4,0)21010|(42)(02)2 10,2 102 10,2 10102 10,102 10,102 10.1xyabcAFMAMFaMAMBMFMBMBMFBFMBMFMAMBMAMB 如图，由，知
3、 ，所以 所以点为椭圆的右焦点，左焦点为又因为，所以，因为所以故10即的最大值为 最小值为【解析】25,4|4,|555.4425172,445()325 2xMMNMAeMNMAMNMBMAMBMNBMNMBNMBMNBNM由题意椭圆的右准线为 设到右准线的距离为，由椭圆的第二定义知 所以，所以由图易知当、共线且在点、之间时，最小为 此时坐标为，当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系时，常考虑第一定义；当圆锥曲线上的点与焦点和相应准线的距离建立联系时，常考虑第二定义，并注意利用平面几何、三角知识来解题问题(1)是用椭圆第一定义中的数量关系进行转换，使问题化归为几何中求最大(小)值的基本模式，
4、主要是利用三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等结论；问题(2)利用第二定义实现了数据的转化，利用了三点共线时，距离和最小 221212194()21223xyFFP xyPFPFxy已知、是椭圆 的两个焦点，为椭圆上一点求的最大值；求 的最大值【变式练习】和最小值 12212121212min36|()9239.3cos2sin236cos6sin6 2sin()4sin()1(23)6 2;4si12n()1(24aPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFxyxyxyx因为 ，故由椭圆的定义知，所以，当且仅当 时等号成立所以的最大值为易知椭圆的参数方程为，则 当 时，当【时，解析
5、】max3)6 2y说明：此题还有其他解法，上面方法较简捷利用椭圆的参数方程，直接将目标函数转化为三角函数，根据正弦函数的最值求解.椭圆的综合应用222212122121(0)2.an.3txyE ababFFPEF PFPF FSb【例】如图，设椭圆：的焦点为 与，且，求证：的面积 11221 212222111 222121 21 21 22221 221 2221sin2.2222cos2()22cos222(1cos2)2(1cos2)44421212sin22 1222PFr PFrSrrF FccrrrrrrrrrrarrrracbbrrcosbScossin cosb设，则 又，
6、由余弦定理有 ，于是所【以这样即有 证明】22tanbcos用定义去解决圆锥曲线问题比较方便如本例，设|PF1|r1，|PF2|r2，则S1/2r1r2sin2.若能消去r1r2，再借助余弦定理即可解决问题 2213621230.xyABFPxPAPFPMABMAPMBMd已知点、分别是椭圆 长轴的左、右端点，点 是椭圆的右焦点，点 是椭圆上的点，位于 轴的上方，且求点 的坐标；设为椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距【变离 的式练习】最小值 2222(6,0)4,0()(6)(4)13620(6)(4)03291806.213503,223 5(,3)2 2AFPxyAP
7、xyFPxyxyxxyxxxxyxyP由已知可得点，设点 的坐标为，则 ，由已知得，则 ，解得 或 由于 ，故【解析】，于是 所以点 的坐标是 222222360.,0|6|2|6|6|662.2()549(2)4420()15.99296615.22APxyMmmMAPmmmmxyMddxyxxxxxxd直线的方程为 设点的坐标为，则点到直线的距离是由于，又，故解得 故椭圆上的点，到点的距离 满足 因为，所以当 时，取得最小值22221.1xyyaaa若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是_(1,0)222221010.xyaaaaa 方程化为标准方程得依题意得，解得【解析】2.3
8、212GxGGG已知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为，且 上一点到 的两个焦点的距离之和为，则椭圆 的方程为 _22=1369xy22223 212623 33=1.369eaacbacxy题意，得 ，则，则所求椭圆方程为【解析】221202200012003.=1(2)b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2与圆(x1)2(y 3)216 相交于 M，N 两点，且|MN|58|AB|，求椭圆的方程【解析】(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0
9、)，因为|PF2|F1F2|，所以 ac2b22c，整理得2(ca)2ca10，得ca1(舍)，或ca12，所以 e12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2 的方程为 y 3(xc)A，B 两点的坐标满足方程组 3x24y212c2y 3xc，消去 y 并整理，得 5x28cx0，解得 x10，x285c.得方程组的解x10y1 3c，x285cy23 35 c，不妨设 A(85c，3 35 c)，B(0，3c)，所以|AB|85c23 35 c 3c2165 c.于是|MN|58|AB|2c.圆 心(1，3)到 直 线PF2 的 距 离d|
10、3 3 3c|2 3|2c|2.因为 d2(|MN|2)242，所以34(2c)2c216，整理得 7c212c520，得 c267(舍)，或 c2.所以椭圆方程为x216y2121.1椭圆的两个定义的灵活运用：椭圆的两个定义都是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的第二定义将到焦点的距离与到准线的距离(平行于坐标轴的线)建立了等量关系由此可对一些距离进行有效转化因此，在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到利用定义进行求解，会有事半功倍之效222 2(0)abceabcacbea椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量，等之间的关系 如 ，及每一个量的本质含义，并能熟练地应用于解题3求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2By21(A0，B0且AB)；若 AB，则焦点在y轴上
