1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第4讲 离散型随机变量及其分布列 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 夯基释疑1判断正误(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)如果随机变量 X 的分布列由下表给出，X25P 0.3 0.7则它服从两点分布()(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布()结束放映返回目录第3页【例题 1】设随机变量 X 的分布列为 PXk5 ak(k1，2，3，4，5)(1)求 a；(2
2、)求 PX35；(3)求 P110X 710.解析(1)由分布列的性质，得 PX15 PX25 PX35 PX45 P(X1)a2a3a4a5a1，考点一 离散型随机变量分布列的性质所以 a 115.(2)PX35 PX35 PX45 P(X1)3 1154 1155 11545.(3)P110X 710 PX15 PX25 PX35 115 215 315 61525.考点突破结束放映返回目录第4页 规律方法(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其
3、依据是互斥事件的概率加法公式 考点突破考点一 离散型随机变量分布列的性质结束放映返回目录第5页【训练 1】设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X 101P 0.5 12q q2则 q 等于()A1 B1 22C1 22D1 22解析 由分布列的性质，得012q1，0q21，0.512qq210q12，q1 22.q1 22.答案 C考点突破考点一 离散型随机变量分布列的性质结束放映返回目录第6页 解析考点二 求离散型随机变量的分布列【例题 2】一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中任取 4 张卡片
4、(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；(2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列(1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A，所以随机变量 X 的分布列是则 P(A)C12C35C22C25C4767.(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4.P(X1)C33C47 135，P(X2)C34C47 435，P(X3)C35C4727，P(X4)C36C4747.X1234 P1354352747考点突破所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为67
5、.结束放映返回目录第7页 规律方法(1)求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤：理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值；求 X 取每个值的概率；写出 X 的分布列(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识考点突破考点二 求离散型随机变量的分布列结束放映返回目录第8页 训练 2 在一个盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x，y，记 X|x2|yx|.(1)求随机变量 X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率；(2)求随机变量 X 的分布列解析(1)由题意
6、知，x，y 可能的取值为 1，2，3，则|x2|1，|yx|2，所以 X3，且当 x1，y3 或 x3，y1 时，X3.因此，随机变量 X 的最大值为 3.故随机变量 X 的最大值为 3，事件“X 取得最大值”的概率为29.而有放回地抽两张卡片的所有情况有 339(种)，所以 P(X3)29.考点突破考点二 求离散型随机变量的分布列结束放映返回目录第9页 训练 2 在一个盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x，y，记 X|x2|yx|.(1)求随机变量 X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率；(2)求随机变量 X 的分布
7、列(2)X 的所有取值为 0，1，2，3.当 X0 时，只有 x2，y2 这一种情况，当 X1 时，有 x1，y1 或 x2，y1 或 x2，y3或 x3，y3 四种情况，当 X2 时，有 x1，y2 或 x3，y2 两种情况所以 P(X0)19，P(X1)49，P(X2)29.则随机变量 X 的分布列为X0123P19492929考点突破考点二 求离散型随机变量的分布列结束放映返回目录第10页 考点三 超几何分布例 3(2014天津卷节选)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这
8、10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列解析(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)C13C27C03C37C3104960.所以选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率为4960.考点突破结束放映返回目录第11页 例 3(2014天津卷节选)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学
9、院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列(2)依据条件，随机变量 X 服从超几何分布，其中 N10，M4，n3，X0123 P1612310130且随机变量 X 的可能值为 0，1，2，3.P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3)所以随机变量 X 的分布列是考点突破 考点三 超几何分布结束放映返回目录第12页 规律方法对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回
10、抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型考点突破 考点三 超几何分布结束放映返回目录第13页 训练 3(2015哈尔滨调研)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准 GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取10 天
11、的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方米)25，35(35，45(45，55(55，65(65，75(75，85频数311113(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据记 X 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 X 的分布列考点突破 考点三 超几何分布结束放映返回目录第14页 解析(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 A，X0123P72421407401120则 P(A)C13
12、C27C3102140.(2)依据条件，X 服从超几何分布，其中 N10，M3，n3，且随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3.P(Xk)Ck3C3k7C310(k0，1，2，3)，所以随机变量 X 的分布列为考点突破 考点三 超几何分布结束放映返回目录第15页 思想方法课堂小结1对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率结束放映返回目录第16页 易错防范课堂小结(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算结束放映返回目录第17页（见教辅）
