1、第5讲三角函数的图像与性质知 识 梳理 正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R（2）值域：都是-1，1对于，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对于，当时，取最大值1，当时，取最小值1。（3）周期性：、的最小正周期都是2和的最小正周期都是（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线 （5）单调性：在区间上单调递增，在单调递减；在上单调递增，在区间上单调递减，。 （6）正切函数的图象和性质：（1）定义域：。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：周期是.（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是，（5）
2、单调性：正切函数在开区间内都是增函数。重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。2.难点：化简三角函数式的过程.3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不等关系相关的问题(1)利用单调性处理不等关系问题1. (08四川)设，若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间，即，即，即；又由，得；综上，即选C（2）研究三角函数的性质问题2. （08安徽卷）已知函数（）求函数的最小正
3、周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图象.解：（1） ,由函数图象的对称轴方程为 （2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，取最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为热 点 考 点 题 型 探 析考点1作三角函数的图象题型1:作正弦函数的图象例1（2007天津改编）画出函数在一个周期内的图像【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线）五个特殊点的选取解析（1）列表如下：0000（2）描点、连线（如图332）图3-3-2【名师指引】五点法
4、作图的技巧：函数的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为，于是五点横坐标依次为，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像题型2.借助于三角函数的图象处理有关问题问题2. （2007天津）设函数，则（ ）A、在区间上是增函数B、在区间上是减函数C、在区间上是增函数D、在区间上是减函数【解题思路】作出图象,一目了然解析函数的图象如下图选 A【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用.【新题导练】1.画出函数在区间上的图像解析（1）列表如下： 0010（2）描点、连线（如图333）2.( 广东省北江中学2009届高三上学期12
5、月月考)已知函数对任意都有则等于（ ）A. 或 B. 或 C. D. 或解析: 由，函数图象关于，是最大值或最小值选B考点2值域与最值问题题型1.化为的形式例1. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)已知R.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值，并指出此时的值【解题思路】利用对解析式进行化简,再进一步处理. 解：（1） . (2) 当时, 取得最大值, 其值为2 . 此时，即Z. 【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为的形式,再研究函数的性质. 利用整体代换的思想求出函数的最大值和最小值是解题的关键题型2.通过换元用二次函数的知识研究值域或最值.例21，3，5求
6、函数的最大值和最小值【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理.解析设，则所以 故当即时，当即时，【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想【新题导练】3.设求的最大值及最小正周期.解：故的最大值为；最小正周期4. 已知向量,，且 （1）求的取值范围； （2）若，试求的取小值，并求此时的值。解： （1） 即 6分（2） 的最小值为 考点3周期性与奇偶性问题题型 .研究三角函数的奇偶性和求周期例1(潮南区0809学年度第一学期期末高三级质检第(1)(3)问)已知函数（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性。【解题思路】用奇偶性的定义和性质进行判断解析：（1）要使
7、f(x)有意义，必须，即得f(x)的定义域为（2）因f(x)的定义域为，关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数. 【名师指引】讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称若函数f（x）为奇函数的图像关于原点对称若函数f（x）为偶函数的图像关于y轴对称例2（08江苏卷）的最小正周期为，其中，则= 【解题思路】代公式解析:【名师指引】先将解析式化为的形式,再用公式进行处理.【新题导练】5（2007广东）若函数，则是（D ）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数剖析,且为偶函数.答案D6. （A0，0）在x1处取最大值，则 （ ）A
8、、一定是奇函数B、一定是偶函数C、一定是奇函数D、一定是偶函数解析:D （A0，0）在x1处取最大值在x0处取最大值， 即y轴是函数的对称轴 函数是偶函数 考点4单调性与对称性问题题型1.求单调区间和研究对称性例1(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)已知向量， （1）若, 且 求；（2）求函数|的单调增区间和函数图像的对称轴方程【解题思路】先进行向量运算,再化简三角函数式解析(1). 由得求函数|的单调增区间是： 由 。得对称轴方程是：【名师指引】函数的图像有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，对称中心为题型2.借助于单调性处理不等关系和最值问题例2(广雅中学08-09
9、学年高三上学期期中考试)设向量，函数.(1) 求函数的最大值与单调递增区间；(2) 求使不等式成立的的取值集合.【解题思路】处理三角不等关系要借助于图象分析和周期性解：(1) . 当时，取得最大值. 由，得， 的单调递增区间为. (2) 由，得. 由，得，则， 即. 使不等式成立的的取值集合为.【名师指引】三角函数与导数的整合是近两年高考的一种趋势【新题导练】7. （汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）设,都是第二象限的角，且sinsin，则（）A.tantan B.coscos C.tantan D.coscos解析：取排除A，C，再取排除D，选B8. 已知函数(1)求函数的最小正
10、周期；(2)若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.解析：(1) 函数f(x)的最小正周期 (2)当时， 当，即时，f(x)取最小值1 所以使题设成立的充要条件是，故m的取值范围是(1,)抢 分 频 道 基础巩固训练1. (东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试)若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ）20070316A（，0）B（0，0）C（，0）D（，0）解析: 将代入得函数值为0，故选C2. （华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试）是（ ）上的增函数 A B C D解析：选B3. (深圳市外语学校2009届高三上学期第三次质量检测)已知向量，则
11、的最大值为【解析】.4. (深圳市外语学校2009届高三上学期第三次质量检测)已知函数,则的值域是 【解析】 画图可得的值域是5. 已知函数(1)求证：；(2)已知的值。解析: f(x)= f(x)= = = = = tan()f(2)=tan() = tan= f(2) = = 6. 已知函数。（）当时，求的单调递增区间：（）当，且时，的值域是，求的值。解：（）， （）而 故 综合拔高训练7.(潮州市20082009学年度第一学期高三级期末质量检测)函数。（1）求的周期；（2）解析式及在上的减区间；（3）若，求的值。解：（1），（）所以，的周期。 4分（2）由，得。又，令，得；令，得（舍去）
12、 在上的减区间是。 8分（3）由，得， ， 又， ，。8.已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）9.已知定义在区间上的函数yf（x）的图象关于直线对称，当时，函数f（x）sinx（1）求，的值；（2）求yf（x）的函数表达式；（3）如果关于x的方程f（x）a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相对应的a的取值范围解：（1）， （4分）yox1（2）当时， （8分）（3）作函数f（x）的图象（如图），显然，若f（x）a有解，则，f（x）a有解，Ma，f（x）a有三解，Ma，f（x）a有四解，Maa1，f（x）a有两解，Ma （12分）