1、第二章 平面向量系列丛书 进入导航第二章 平面向量RJA版数学必修4 第二章 平面向量系列丛书 进入导航 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系.2.会两个向量的和差及实数与向量积的坐标表示.学习目标第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修
2、4 重点：平面向量的正交分解及坐标表示；难点：平面向量的坐标运算.重点难点第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 预习篇01 新知导学第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1向量的正交分解把一个向量分解为的向量，叫做把向量正交分解向量的正交分解及坐标表示两个互相垂直第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 2向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序实数对叫做向量a的坐标
3、，记作a，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标(x，y)(x，y)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1特别地，i，j，0的坐标分别是什么？答：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 平面向量的坐标运算(x1x2，y1y2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)ab，ab，即两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差)(2)a(R)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(x1x2，y1y2)(x1，y1)第二章2.32.3.
4、2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (3)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则OA，OB，ABOB OA(x2，y2)(x1，y1)即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标(x1，y1)(x2，y2)(x2x1，y2y1)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 2与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？答：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y)3若A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求线段AB的长度？答：由于 AB(x2x1，y
5、2y1)且线段AB的长度等于向量AB的模，所以线段AB|AB|x2x12y2y12.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1点的坐标与向量的坐标的区别和联系(1)区别：意义点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 表示形式如点A(x，y)，向量a OA(x，y)当平面向量 OA 平行移动到 O1A1时，向量不变，即 O1A1 OA(x，y)，但O1A1 的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进
6、入导航 RJA版数学必修4 (2)联系：向量a的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量a的坐标第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 2向量的三种运算体系(1)图形表示下的几何运算此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用(2)字母表示下的几何运算此运算体系下一方面要注意运算律的应用，另一方面要注意OA ABOB，OA OB BA等运算法则的应用第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入
7、导航 RJA版数学必修4 (3)坐标表示下的代数运算此运算体系下要牢记公式，且细心运算若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出向量的坐标，再进行坐标运算.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 课堂篇02 合作探究第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例1】设i(1,0),j(0,1)，a3i4j，bij，求ab与ab的坐标【分析】只需将ab和ab表示为xiyj的形式，从而得出所求坐标平面向量的坐标表示第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】a3i4j，bij，ab(3i4j)
8、(ij)2i5j，ab(3i4j)(ij)4i3j.又i(1,0)，j(0,1)，ab与ab的坐标分别是(2,5)，(4,3)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼i1，0，j0，1分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，向量的坐标x，y是相对于i1，0，j0，1来说的，若向量可以表示成xiyj的形式，则此向量的坐标就是x，y.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 已知点A(2,2)，B(2,2)，C(4,6)，D(5,6)，E(2，2)，F(5，6)在平面直角坐标系中，分别作出向量AC，BD，EF，并求向量AC，
9、BD，EF的坐标第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解：如图，描出点A(2,2)，B(2,2)，C(4,6)，D(5,6)，E(2，2)，F(5，6)，再分别作出向量 AC，BD，EF.由图可知：AC 2i4j，BD 3i4j，EF3i4j，所以AC(2,4)，BD(3,4)，EF(3，4)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM 3CA，CN 2CB，求M，N及MN 的坐标【分析】首
10、先设出M、N的坐标，结合已知条件，分别建立关于M、N坐标的方程从而求得M，N的坐标以及MN 的坐标向量的坐标运算第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得CA(2,4)(3，4)(1,8)，CB(3，1)(3，4)(6,3)，所以 CM 3 CA 3(1,8)(3,24)，CN 2 CB 2(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM(x13，y14)(3,24)，所以x133y1424，解得x10，y120；第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4
11、CN(x23，y24)(12,6)，所以x2312y246，解得x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，MN(9,2)(0,20)(9，18)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼1.相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组.2.进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 已知a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，
12、且有cpaqb.试求实数p，q的值第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解：a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，paqbp(1,2)q(1，1)(pq,2pq)cpaqb，pq32pq2，解得p1q4.故p，q的值分别为1,4.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例3】已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且 OP OA tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由向量坐标运算的应用第二章2.3
13、2.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【分析】关键是利用 OP OA t AB 表示出点P的坐标利用平行四边形中OA PB.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】OA(1,2)，AB(3,3)，OP(1,2)t(3,3)(13t,23t)(1)P在x轴上，则有23t0，t23；若P在y轴上，则有13t0，t13；若P在第二象限，则有13t0，解得23t13.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (2)PB(33t,33t)若OABP是平行四边形，则有OA PB，即有33t1，且33t2，
14、这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP AB AC(R)，且点P在第三象限，求的取值范围第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解：
15、设点P的坐标为(x，y)，则AP(x2，y3)又AB(3,1)，AC(5,7)，所以ABAC(35，17)由AP AB AC 得(x2，y3)(35，17)，则x235y317，即x55y47第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 又点P在第三象限，所以550470，解得1，所以的取值范围为(，1)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 提高篇03 自我超越第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 多维探究系列对课本例题的解法探究【例】已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(2,1)
16、，(1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标【思路分析】对于此题，教材中解法1利用向量相等(即 AB DC)求解，解法2利用向量的加法求解下面再介绍四种解题方法第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】方法一(利用平行四边形对边对应的向量相等，即AD BC)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 在ABCD中，AD BC，又AD(x2，y1)，BC(4,1)，(x2，y1)(4,1)，即x24y11，解得x2y2，顶点D的坐标为(2,2)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导
17、航 RJA版数学必修4 方法二(利用向量加法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则OD OA AD.AD BC，OD OA BC，(x，y)(2,1)(4,1)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 方法三(利用向量减法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则OD AD AO，AD BC，OD BCAO，(x，y)(4,1)(2，1)(2,2)，顶点D的坐标为(2,2)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 方法四(利用中点的向量表达式)如图，在ABCD中
18、，设AC的中点为M，则点M也是BD的中点OM 12(OA OC)12(OB OD)，第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 OA OC OB OD，OD OA OC OB(2,1)(3,4)(1,3)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 在ABC中，点P在BC上，且 BP 2 PC，点Q是AC的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC()A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21)第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解析：AQ PQ PA(1,5)(4,3)(3,2)，因为点Q是AC的中点，所以AC2AQ(6,4)所以PCPAAC(4,3)(6,4)(2,7)，又因为BP2PC，所以BC3PC3(2,7)(6,21)答案：B第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 温示提馨请 做：巩固篇04（点击进入）第二章2.32.3.2、2.3.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 温示提馨请 做：课 时 作 业 20（点击进入）