1、第1节 集合 【教材回扣】1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：_、_、_(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号_或_.(3)集合的表示方法有_、_、_确定性互异性无序性列举法描述法图示法2集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图 子集集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素(若 xA，则xB)_ 真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合 A中_ 集合相等集合 A，B 中的元素相同或集合A，B 互为子集_ AB(或 BA)A B(或 B A)AB3.集合的三种运算(1)集合的三种运算()符号语言：交集 AB_，并集 AB_补集SA_()图形
2、语言：x|xA 且 xBx|xA 或 xBx|xS，且 xA(2)集合的运算律()交集运算：AB_A；AB_B；AA_；A_；AB_BA.()并集运算：AB_A；AB_B；AA_；A_；AB_BA.()补集运算：U(UA)_；UU_；U_；A(UA)_；A(UA)_.AAAAUU【教材提炼】一、教材改编1必修一P14 习题 1.3 T1 改编集合 Ax|2x4，Bx|3x782x，则 AB()Ax|2x4Bx|3x4Cx|2x4 Dx|3x4答案：B解析：Ax|2x4，Bx|x3，ABx|3x42必修一P14 习题 1.3 T4 改编已知集合 Ax|3x7，Bx|2x10，则R(AB)_.答案
3、：x|x2 或 x10解析：ABx|2x10，R(AB)x|x2 或 x10二、易错易混3已知集合 A1,1，Bx|ax10，若 BA，则实数 a的所有可能取值的集合为()A1 B1 C1,1 D1,0,1答案：D解析：BA，当 B，即 a0 时，Bx|x1a，1aA，即 a1；当 B，即 a0 时，满足条件，综上可知实数 a 所有可能取值的集合是1,0,1故选 D.4已知集合 Ay|yx22x3，xR，By|yx22x13，xR，则 AB_.答案：y|4y14解析：Ay|y(x1)24，xRy|y4By|y(x1)214，xRy|y14ABy|4y14三、走进高考52019全国卷已知集合Mx
4、|4x2，Nx|x2x60，则 MN()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x3答案：C解析：Mx|4x2Nx|x2x60 x|2x3MNx|2x262019全国卷已知集合 A1,0,1,2，Bx|x21，则AB()A1,0,1 B0,1C1,1 D0,1,2答案：A解析：Bx|x21x|1x1又 A1,0,1,2AB1,0,1题型一 集合的基本概念自主练透1已知集合 A0,1,2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9答案：C解析：当 x0，y0,1,2 时，xy0,1,2.当 x1，y0,1,2 时，xy1,2,3，当 x2，y0,1,2 时，xy2
5、,3,4根据集合中元素的互异性可知，B 中元素为：0,1,2,3,4，共 5 个故选 C.2若集合 Ax|ax23x20中只有一个元素，则 a 等于()A92 B98 C0 D0 或98答案：D解析：当 a0 时，x23，符合题意；当 a0 时，由(3)28a0，得 a98.所以 a 的值为 0 或98，故选 D.3设 a，bR，若集合1，ab，a0，ba，b，则 a2021b2021_.答案：0解析：由题意知 a0，a1，则根据两个集合相等可知 ab0，且 b1 或ba1.若 b1，则 a1，符合题意；若ba1，则 ab，结合 ab0可知 ab0，不符合题意综合可知 a1，b1，故 a202
6、1b2021(1)202112021110.类题通法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.题型二 集合间的基本关系师生共研例 1(1)已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 B A，则实数 m 的取值范围为_答案：(，3解析：当 B时，如图所示 m122m122m152m1m1解得 2m3.当 B时，由 m12m1，得 m2.综上，m 的取值范围是 m3.(2)已知集合 Ax|x22021x20200，Bx|xa，若 A
7、B，则实数 a 的取值范围是_答案：2020，)解析：由 x22021x20200得 1xm1m122m15即m2m3m3m 不存在，即不存在实数 m 使 AB.变式探究 2本例(2)中，若把集合 B 改为 Bx|xa，其它条件不变，则实数 a 的取值范围是_答案：(，1解析：A(1,2020)，Ba，)ABa1.类题通法已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集，一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想
8、方法，尤其需注意端点值能否取到【跟踪训练 1】(1)已知 x|x2xa0，则实数 a 的取值范围是()Aa14答案：B解析：由题意知x|x2xa0为非空集合，即方程 x2xa0有解所以 14a0，解得 a14.故选 B.(2)2020山东济南一中模拟设 Ax|x28x150，Bx|ax10，若 BA，则实数 a 组成的集合 C_.答案：0，13，15解析：A3,5，又 Bx|ax10，当 B时，a0，显然 BA；当 B时，B1a，由于 BA，1a3 或 5，a13或15.综上 a 的值为0，13，15题型三 集合的基本运算微点探究微点 1 交集运算例 2 2020山东泰安一中月考设集中 Ax|
9、12x13，Bx|ylog2x，则 AB()A(0,1 B1,0C1,0)D0,1答案：A解析：Ax|1x1，Bx|x0，ABx|1x1x|x0 x|0 x1故选 A.微点 2 并集运算例 3 2020山东临沂一中新高考备考监测联考若集合 Mx|12x1，Nx|x26x80，则 MN()A(2,3 B(2,3)C1,4)D(1,4)答案：C解析：Mx|1x3，Nx|2x4MNx|1x3x|2x4x|1x0，则RA()Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2Dx|x1x|x2答案：B解析：Ax|x2x20 x|x2 或 x1RAx|1x2故选 B.微点 4 集合运算中的参数问题例 5 设集合 Ax|1
10、x2，Bx|xa，若 AB，则 a的取值范围是()A12Ca1 Da1答案：D解析：因为 AB，所以集合 A，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知 a1.类题通法(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，借助于 Venn 图来求解(2)如果集合中的元素是连续的实数，常借助数轴求解，但是注意端点值能否取到的情况(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解.【跟踪训练 2】(1)2019全国卷已知集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则 BUA()A1,6 B1,7 C6,7 D1,6,7答案：C
11、解析：UA1,6,7，BUA6,7，故选 C.(2)2020山东潍坊阶段性监测已知集合 A1,3a，Ba，b，若 AB13，则 AB()A.1，13 B.1，13 C.1，1，13 D.b，1，13答案：C解析：由 AB13得，3a13，a1，b13.AB1,1，13，故选 C.(3)设集合 Mx|2x5，Nx|2tx2t1，若 MNM，实数 t 的取值范围为_答案：(，2解析：由 MNM 得 NM.当 N时，2t12t，即 t13，此时 MNM 成立；当 N时，则2t2t12t152t2解得13t2.综上可知，实数 t 的取值范围是 t2.尖子生阅读新定义集合问题新定义集合问题是指给出全新的
12、数学概念、公式、运算、法则等，在此背景下完成某种推理或指定要求的集合问题此类题难度一般中档或中偏高档，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力解决新定义集合问题的思路：从新情景中获取信息，以集合问题中新定义为核心和纽带，理清集合问题中新定义的具体内容，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新的情境中，促进知识技能的迁移和应用例 1 非空集合 A 中的元素的个数用(A)表示，定义(AB)AB，AB，BA，A4 或 a0Ca|0a4 Da|a4 或 a0答案：D解析：因为 A1,0，所以集合 A 中有 2 个元素，即(A)2.因为 Bx|x22x3|a，所以(B)就是函数 f(x)
13、|x22x3|的图象与直线 ya 的交点个数，画出函数 f(x)的图象和直线 ya，如图所示由图可知，(B)0 或(B)2 或(B)3 或(B)4.当(A)(B)时，若(AB)1，则(B)(A)1，所以(B)1.又(A)(B)，所以 1(B)2，所以(B)2，由图可知，a0 或 a4.当(A)(B)时，由(AB)1，则(B)(A)1，即(B)3，又(A)(B)，所以 2(B)3，只能(B)3，由图可知，a4.综上所述：a0 或 a4，故选 D.方法点评 解答本题的关键是弄清(AB)AB，AB，BA，AB的定义，并利用分类讨论思想和数形结合思想进行求解例 2 若 X 是一个集合，集合 是一个以
14、X 的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X 属于，属于；(2)中任意多个元素的并集属于；(3)中任意多个元素的交集属于.则称 是集合 X 上的一个拓扑已知集合 Xa，b，c，对于下面给出的四个集合：，a，c，a，b，c；，b，c，b，c，a，b，c；，a，a，b，a，c；，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合 X 上的拓扑的集合 的序号是_答案：解析：不是集合 X 上的拓扑，因为a，c，但ac；是集合 X 上的拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是集合 X 上的拓扑，因为 Xa，b，c；是集合 X 上的拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足方法点评 求解此类问题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的办法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断