1、学业分层测评(十)1截面欣赏2直线与球、平面与球的位置关系2.1直线与球的位置关系2.2平面与球的关系(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.正方体的表面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是()A.B.C.aD.2a【解析】设正方体的棱长为x，则a6x2，而球半径Rx，S球4R23x2.【答案】B2.把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为12，则其中较小球半径为()A.RB.RC.RD.R【解析】设较小球半径为r，则另一球半径为2r，r3(2r)3R3，r3R3，rR.【答案】B3.(全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V
2、的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是() 【导学号：96990046】A.4B.C.6D.【解析】设球的半径为R，ABC的内切圆半径为2，R2.又2R3，R，Vmax3.故选B.【答案】B4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为()A.235B.234C.358D.469【解析】设球的半径为1，则球的外切圆柱的底面半径为1，高为2；球的外切等边圆锥的底面半径为，高为3，所以球的体积为V1，圆柱的体积为V21222，圆锥的体积为V3()233，所以V1V2V323469.【答案】D5.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，
3、经过这3个点的小圆的周长为4，那么球的半径为()A.4B.2C.2D.【答案】B二、填空题6.平面与球O相交，交线圆圆心为O1，若OO13，交线圆半径为4，则球O的半径为_.【解析】设球O的半径为R，由题意知R2324225，R5.【答案】57.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_.【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2()2()2()29，外接球的表面积为S4R29.【答案】98.如图217所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_.图217【解析
4、】DA平面ABC，BC平面ABC，AC平面ABC，DABC，DAAC.又BCAB，ABDAA，BC平面ABD，BCDB，则DC的中点即为球心O.又DAABBC，AC，DC3，球O的体积V球.【答案】三、解答题9.已知半径为R的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离.【解】设四个球的球心分别为O1，O2，O3，O4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R，如图作O1H面O2O3O4，垂足为H，则O1H为棱锥的高.连接O4H，则O4HR.O1HO4为直角三角形，O1HO490，O1HR，从上面一个球的球心到桌面的距离为R.10.若正四面体的四个顶点都在表面
5、积为36的一个球面上，求这个正四面体的高.【解】如图，设正四面体边长为x，设球半径为R.AHx,4R236.R3，在RtAHS中，SH2SA2AH2，SH2x22x2，229，x2SH4，故正四面体的高为4.能力提升1.半径为R的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为()A.RB.RC.RD.R【答案】C2.某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为2R，高为20R的圆柱形筐(有盖也有下底)，用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为()A.12B.13C.24D.26【解析】设A，B为同一层球的球心，C，D为相邻一层的球心，这四个球心A
6、，B，C，D的连线刚好构成一个正四面体，相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF(如图所示).易求得EFR，12.7.共13个“间隔”，即共放了13层，13226.该筐最多可放篮球的个数为26.【答案】D3.如图218所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，则容器内的水深是_.图218【解析】由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为r，容器内水的体积就是VV圆锥V球(r)23rr3r3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为h.此时容器内水的体积为V2hh3.由VV
7、，得hr.即铁球取出后水深为r.4.在球面上有四点P，A，B，C，若PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPCa，求这个球的体积和表面积.【解】由PAPB可知P，A，B确定一个平面，设它与球O的交线为O1，由于PAPB，故AB是O1的直径，且ABa.PCPA，PCPB，PC平面PAB.又OO1平面PAB，OO1PC.过OO1，PC作平面交球面为大圆O，设O与O1的另一个交点为Q，则直线PQ是平面与平面PAB的交线，点O1PQ，连接CQ，在O中，PCPQ，CPQ为直角，CQ为O的直径.设O的半径为R，即球O的半径为R，在RtCPQ中，CQ a，2Ra，即Ra，V球(a)3a3，S球4(a)23a2.