1、第二章 平面向量系列丛书 进入导航第二章 平面向量RJA版数学必修4 第二章 平面向量系列丛书 进入导航 2.2 平面向量的线性运算第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 22.3 向量数乘运算及其几何意义提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1.记住数乘的定义及其规定.2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题.3.记住数乘运算法则并能进行相关运学习目标第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 重点：数乘的定义；难点：向量共线基本定理.重点难点第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJ
2、A版数学必修4 预习篇01 新知导学第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 一般地，我们规定实数与向量a的积是一个，这种运算叫做，记作a，它的长度与方向规定如下：向量数乘的定义向量向量的数乘第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向；当0时，a可以看作是a方向上的伸缩变换，1时，模伸长；|1时，模缩短)第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 向量数乘的运算律(1)(a)()a(，R)；(2)()aaa(，R)；(3)(ab)ab(R)第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航
3、 RJA版数学必修4 向量a(a0)与b共线，当且仅当有实数，使ba.向量共线基本定理唯一一个第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 3定理中条件a0能漏掉吗？答：定理中a0不能漏掉若ab0，实数仍然存在，但是任意实数，不唯一；若a0，b0，则不存在实数，使ba.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (1)向量的统称为向量的线性运算(2)任意向量a，b，以及任意实数，1，2恒有(1a2b)1a2b.线性运算加、减、数乘运算第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 4向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些
4、变形手段能否在向量的线性运算中应用？答：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1对向量共线定理的理解(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数，使ba(a0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a0)，则必存在一个实数，使ba.(2)定理中，之所以限定a0是由于若ab0，虽然仍然存在，可是不唯一，定理的正反两个方面不成立(3)若a，b不共线，且ab，则必有0.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 2向量共线定理的两个应用(1)向量共线的判定对于向量a(a0
5、)与b，如果有一个实数，使ba，那么由向量数乘的定义知，向量a与b是共线的(2)向量共线的性质向量a(a0)与b共线，若向量b的长度是a的长度的倍，即|b|a|.那么，当a与b同向时，有ba；当a与b反向时，有ba；当b0时，则0.总之，都可以表示成ba(其中唯一确定)第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 3判断两个向量是否共线的方法判断两个向量是否共线可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程若方程有解且与题目条件无矛盾，则存在，反之不存在.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 课堂篇02 合作探究第二章
6、2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例1】计算：(1)3(6ab)9a13b；(2)123a2ba12b 212a38b；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.【分析】可综合运用向量数乘的运算律求解向量数乘的基本运算第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】(1)原式18a3b9a3b9a；(2)原式122a32b a34ba34ba34b0；(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项
7、、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 化简：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)162(2a8b)4(4a2b)第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)6a4b3a15b20b5a14a9b；(2)162(2a8b)4(4a2b)16(4a16b16a8b)16(12a24b)2a4b.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例2】已知非零向量e
8、1和e2不共线(1)如果 AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值向量的共线问题第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【分析】对于(1)欲证明A、B、D三点共线，只需证明存在实数，使 BD AB 即可对于(2)若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在，使ke1e2(e1ke2)第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】(1)ABe1e2，BD BCCD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB，AB、BD 共线，又它们有公共点B.A、B、D
9、三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 只能有k0，k10，则 k1.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数，使得 baa，b 为由这三点构成的任意两个向量.证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 已知向量 e1，e2 不共线，如果AB2e13e2，BC6e123e2，CD 4e18e
10、2.求证：A、B、D 三点共线第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 证明：AD ABBCCD 2e13e26e123e24e18e212e118e26(2e13e2)6AB.向量AD 与向量AB共线又AB和AD 有公共的起点 A，A、B、D 三点共线第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例3】如图，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DB 13 OB，DC与OA交点为E，设OA a，OB b，用a，b表示向量OC，DC.向量的线性运算的应用第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【分析】解题的关键
11、是建立 OC，DC 与a，b的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】ACBA，A是BC的中点，OA 12(OB OC)，OC 2OA OB 2ab.DC OC OD OC 23OB2ab23b2a53b.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.第二章2.22.2.3 系列丛
12、书 进入导航 RJA版数学必修4 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若ACa，BDb，则AF等于()A.14a12b B.23a13bC.12a14bD.13a23b第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解析：易知DFEBAE，又E 是 OD 中点，DF13DC，AFAD DFAD 13DC(AO OD)13(OC OD)第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 12AC12BD 13(12AC12BD)23AC13BD23a13b.答案：B第二章2.22.2.3
13、 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 提高篇03 自我超越第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 规范解答系列向量共线定理的应用【例】设 e1，e2 是两个不共线的向量，AB2e1ke2，CBe13e2，CD 2e1e2，若 A，B，D 三点共线，求 k的值【思路分析】由 A，B，D 三点共线可得向量共线，如AB与BD 共线第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【规范解答】若 A，B，D 三点共线，则AB与BD 共线，所以可设ABBD.又因为BD CD CB(2e1e2)(e13e2)e14e2，所以 2e1ke2(e14e2)，即(4k)
14、e2(2)e1，因为 e1，e2 是两个不共线的向量，第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 若 4k0，则 e2 24ke1，于是 e1 与 e2 是共线向量，与已知条件矛盾；若 20，则 e14k2 e2，于是 e1 与 e2 是共线向量，与已知条件矛盾，所以4k0，20，故 2，k8.第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解后反思】(1)若在处不会用向量共线定理建立两个共线向量的关系，则无法找到向量 e1，e2 的关系(2)若 在 处 不 会 根 据 向 量 e1，e2 不 共 线 得 到4k0，20，则无法准确求出结果第二章2.22.
15、2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 在ABCD 中，M 是 AB 的中点，N 在 BD 上，且 BN13BD，求证：M，N，C 三点共线第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 证明：设ABe1，AD e2，则BD e2e1，BN13BD 13e213e1，MN MB BN12ABBN16e113e2.又MC MB BC 12e1e2，故MN 13MC，从而MN MC.又它们有公共点 M，故 M，N，C 三点共线第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 温示提馨请 做：巩固篇04（点击进入）第二章2.22.2.3 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 温示提馨请 做：课 时 作 业 18（点击进入）