1、1已知动圆 Q 过定点 M(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为4.(1)求动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程；(2)已知点 P(2,1)，动直线 l 和坐标轴不垂直，且与轨迹 C相交于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否存在一定点 G，使直线 l过点 G，且使得直线 PA，PG，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点 G 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设 Q(x，y)，根据题意得|x|222 x22y2，整理得 y24x，所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y24x.(2)设存在符合题意的定点 G.设直线 l 的方程为 xnym(n0 且 nR)，则 G(m,0)将
2、 xmny 代入 y24x 中，整理得 y24ny4m0.由题意得 16n216m0，即 n2m0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24n，y1y24m，kPAy11x12y11y21424y11y218，kPB4y21y228，kPG12m1m2，由题意得 kPAkPB2kPG，即 kPAkPB2kPG0，所以2y11y218 2y21y228 1m20，即 2(m2)y1y2(y1y2)16(m2)(y1y2)2(y1y2)22y1y2(2m)(y1y2)232m0，把 y1y24n，y1y24m 代入上式，整理得(m2)n(m2)(2m)，又因为 nR，所以m22m0，
3、m20，解得 m2，所以存在符合题意的定点 G，且点 G 的坐标为(2,0)2椭圆x2a2y2b21(ab0)的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径已知椭圆的方程为x216y241.(1)若一条直径的斜率为12，求该直径的共轭直径所在的直线方程；(2)若椭圆的两条共轭直径为 AB 和 CD，它们的斜率分别为k1，k2.证明：四边形 ACBD 的面积为定值解：(1)设与斜率为12的直径平行的弦的端点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，该弦中点为(x，y)，则有x2116y2141，x2216y2241，相减得x1x2x1x216
4、y1y2y1y240，由于 xx1x22，yy1y22，且y1y2x1x212，所以 x2y0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为 x2y0.(2)椭圆的两条共轭直径为 AB 和 CD，它们的斜率分别为 k1，k2.四边形 ACBD 显然为平行四边形，设与 AB 平行的弦的端点坐标分别为(x3，y3)、(x4，y4)，则 k1y3y4x3x4，k2y3y4x3x4，而x2316y2341，x2416y2441，x23x2416y23y2440，故 k1k2y23y24x23x2414.由 yk1x，x216y241，得 A，B 的坐标分别为414k21，4k114k21，414k21，4k11
5、4k21，故|AB|814k211k21，同理 C，D 的坐标分别为414k22，4k214k22，414k22，4k214k22，所以，点 C 到直线 AB 的距离 d4k114k224k214k221k214|k1k2|1k21 14k22，设四边形 ACBD 的面积为 S，则S d|AB|4|k1k2|1k21 14k22814k211k21 32|k1k2|14k21 14k2232k21k222k1k214k21k2216k21k2216，为定值3已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，椭圆 C 的上顶点与右顶点的距离为 3，过
6、F2 的直线与椭圆 C交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)点 M 在直线 x2 上，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k22，求证：点 M 为定点解：(1)由题意知a2b23，a2b21，解得a22，b21，所以椭圆 C 的标准方程为x22 y21.(2)若直线 AB 的斜率不存在，直线 AB 的方程为 x1.不妨设A1，22，B1，22，M(2，m)，则 k1m 2221 m 22，k2m 2221m 22，k1k22，2m2，m1，点 M 为(2,1)若直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，m)，由 ykx1，x22 y21，得(12k2)x24k2x2(k21)0，x1x2 4k212k2，x1x22k2112k2，k1kx11mx12，k2kx21mx22，k1k22kx1x23kmx1x24kmx1x22x1x244k2m4m2k21 2，m1，定点 M(2,1)