1、第一章 三角函数 1 数列 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式三和公式四 学 习 目 标核 心 素 养 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式二、三、四2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、证明问题(难点)1.通过对诱导公式的推导，提升学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1公式二(1)角 与角 的终边关于对称如图所示原点(2)公式：sin()，cos()，tan().tan sin cos 2公式三(1)角
2、 与角 的终边关于轴对称如图所示(2)公式：sin()，cos()，tan().xsin cos tan 3公式四(1)角与角的终边关于轴对称如图所示(2)公式：sin()，cos()，tan().ysin cos tan 思考：(1)诱导公式中角只能是锐角吗？(2)诱导公式一四改变函数的名称吗？提示(1)诱导公式中角可以是任意角，要注意正切函数中要求k2，kZ.(2)诱导公式一四都不改变函数名称公式二、三、四的推导过程如下：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin y，cos x.由的终边与单位圆交点为得sin()sin，cos()cos.由的终边与单位圆交点为得(x，y)(x，y)
3、yxsin()sin，cos()cos.由的终边与单位圆交点为得sin()sin，cos()cos.yx(x，y)yx1下列说法中正确的是()A公式二四对任意角都成立B由公式三知cos()cos()C在ABC中，sin(AB)sin CD以上说法均错误C A错误，关于正切的三个公式中k2，kZ.B错误由公式三知cos()cos()，故cos()cos()是不正确的 C正确因为ABC，所以ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C.故选C.2tan(2 025)的值为()A0 B1 C1 D.3C tan(2 025)tan 2 025tan(5360225)tan 225tan(1804
4、5)tan 451.3已知tan 3，则tan().3 tan()tan 3.4若sin()12，则sin(4)的值是12 由sin()12得sin 12即sin 12，所以sin(4)sin()sin 12.合 作 探 究 释 疑 难 给角求值问题【例1】求下列各三角函数值：(1)sin 1 320；(2)cos316；(3)tan(945)解(1)法一：sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60 32.法二：sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60 32.(2)法一：cos316 cos316
5、cos476 cos6 cos6 32.法二：cos316 cos656 cos6 cos6 32.(3)tan(945)tan 945tan(2252360)tan 225tan(18045)tan 451.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”用公式一或三来转化；2“大化小”用公式一将角化为0到360间的角；3“小化锐”用公式二或四将大于90的角转化为锐角；4“锐求值”得到锐角的三角函数后求值.跟进训练1求下列各三角函数值：(1)cos116；(2)tan(765)；(3)sin 43 cos 256 tan 54.解(1)cos116 cos116 cos26 cos6 co
6、s6 32.(2)tan(765)tan(72045)tan(45)tan 451.(3)sin43 cos256 tan54 sin3 cos46 tan4 sin3cos6tan4 32 32 134.化简求值【例2】(1)化简：costan7sin；(2)化简：cos180sin360 sin180cos180.(1)1 costan7sincos tansin cos tan sin sin sin 1.(2)解 原式cos sin sin180cos180 sin cos sin180cos180 sin cos sin cos 1.三角函数式化简的常用方法 1利用诱导公式，将任意角
7、的三角函数转化为锐角三角函数.2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.3注意“1”的应用：1sin2cos2tan4.跟进训练2化简：(1)sinsin2cossin3cossin；(2)化简：12sin 290cos 430sin 250cos 790.解(1)原式sin sin cos sincos sin sin sin cos sin cos sin 1.(2)原式 12sin36070cos36070sin18070cos72070 12sin 70cos 70sin 70cos 70|cos 70sin 70|cos 70sin 70 sin 70cos 70cos 70s
8、in 701.给值(式)求值问题【例3】(1)已知sin(360)cos(180)m，则sin(180)cos(180)等于()A.m212 B.m212C.1m22Dm212(2)已知cos(75)13，且为第四象限角，求sin(105)的值思路点拨：(1)化简已知和所求三角函数式 根据sin cos，sin cos 的关系求值(2)10575180cos7513，为第四象限角求sin75 用sin180sin 求值(1)A sin(360)cos(180)sin cos m，sin(180)cos(180)sin cos sin cos 212m212.(2)解 cos(75)130，且
9、为第四象限角，sin(75)1cos275 11322 23，sin(105)sin180(75)sin(75)2 23.1例 3(2)条件不变，求 cos(255)的值解 cos(255)cos180(75)cos(75)13.2将例3(2)的条件“cos(75)13”改为“tan(75)5”，其他条件不变，结果又如何？解 因为tan(75)50，且为第四象限角，所以75是第四象限角 由sin275cos2751，sin75cos755，解得sin755 2626，cos75 2626或 sin755 2626，cos75 2626.(舍)所以sin(105)sin180(75)sin(75
10、)5 2626.解决条件求值问题的两个技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简或证明问题 探究问题1利用诱导公式化简 sin(k)(其中 kZ)时，化简结果与 k是否有关？提示：有关因为k是奇数还是偶数不确定 当k是奇数时，即k2n1(nZ)，sin(k)sin()sin；当k是偶数时，即k2n(nZ)，sin(k)sin.2利用诱导公式化简tan(k)(其中kZ)时，化简结果与k
11、是否有关？提示：无关根据公式tan()tan 可知tan(k)tan(其中kZ)【例4】设k为整数，化简：sinkcosk1sink1cosk.思路点拨：本题常用的解决方法有两种：为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；观察式子结构，kk2k，(k1)(k1)2k，可使用配角法 解 法一：(分类讨论)当 k 为偶数时，设 k2m(mZ)，则原式sin2mcos2m1sin2m1cos2m sincossincos sin cos sin cos 1；当 k 为奇数时，设 k2m1(mZ)，同理可得原式1.法二：(配角法)由于 kk2k，(k1)(k1)2k，故 cos(k1)
12、cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)，sin(k)sin(k)所以原式sinkcosksinkcosk1.明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名.2用诱导公式，统一角.3用因式分解将式子变形，化为最简.提醒：注意分类讨论思想的应用.跟进训练3求证：tan2sin2cos6cossin5tan.证明 左边tansincoscossin tan sin cos cos sin tan 右边，tan2sin2cos6cossin5tan.课 堂 小 结 提 素 养 1各诱导公式的作用诱导公式作用 公式一将角转化为02之间的角求值 公式二将02内的角转化为0之间的角求值 公
13、式三将负角转化为正角求值 公式四将角转化为02之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角1下列命题成立的是()A诱导公式二、三、四中，角可以为任意角B当为钝角时，cos()cos C若，则sin sin D若0，则tan tan C A错，因为需使正切有意义；B错，不论为任意角，都有cos()cos；C正确，因为sin sin()sin；D错，tan tan()tan.2tan43 等于()A 33 B.33 C 3 D
14、.3C tan43 tan223 tan23 tan3 tan3 3.3.cos585sin 495sin570的值等于22 原式cos360225sin360135sin360210 cos18045sin18045sin18030 cos 45sin 45sin 30 2222 12 22.4化简(1)sin540costan180；(2)sin2coscostan.解(1)sin540costan180 sin180cos tan sin cos tan cos2.(2)sin2coscostan sin cos cos tan cos.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!